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X ENS Mathématiques PSI 2011

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Banque
X-ENS
Année
2011
Filière
PSI
Matière
Maths
X-ENS PSIX-ENS 2011PSI MathsMaths 2011
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Banque commune École Polytechnique - ENS de Cachan PSI
Session 2011

Épreuve de Mathématiques

Durée : 4 heures

Aucun document n'est autorisé

L'usage de calculatrice électronique de poche à alimentation autonome, non imprimante et sans document d'accompagnement, est autorisé selon la circulaire du février 1999. De plus, une seule calculatrice est admise sur la table, et aucun échange n'est autorisé entre les candidats.
Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

Préambule

Avertissement : La lecture des rappels et définitions ci-dessous n'est pas optionnelle. Le candidat devra se reporter à ce préambule à chaque fois qu'une notion nouvelle sera utilisée dans l'énoncé. Les parties 1,2 et 3 sont largement indépendantes.
On désignera par l'espace euclidien de dimension . On notera la norme euclidienne canonique
associée au produit scalaire canonique
On considérera l'ensemble des matrices carrées réelles de taille et l'ensemble des matrices carrées complexes de taille . On notera la matrice carrée identité de taille la matrice nulle de taille , et la matrice carrée diagonale dont les coefficients sur la diagonale sont donnés par .
On note l'ensemble des matrices triangulaires supérieures de taille sur , c'est-à-dire si et seulement si pour tout . On note l'ensemble des matrices réelles symétriques (c'est-à-dire telles que pour tout ), et on note l'ensemble des matrices réelles antisymétriques (c'est-à-dire telles que pour tout .
On dira que deux matrices sont semblables dans s'il existe une matrice inversible telle que , et on dira que deux matrices sont semblables dans s'il existe une matrice inversible telle que .
On dira qu'une matrice est nilpotente s'il existe tel que .
On définit l'exponentielle d'une matrice par
On définit sur l'espace des matrices la norme suivante
On notera la partie réelle d'un nombre complexe .

1 Matrices et réversibilité

On considère . On lui associe le système paramétré par
composé d'une équation différentielle de la variable réelle (notée ), à valeurs dans , et d'une donnée en .
  1. Montrer en utilisant le théorème de Cauchy-Lipschitz que (1) admet, pour tout , une unique solution sur .
  2. On considère une matrice . Montrer que la suite
est une suite de Cauchy pour la norme et en déduire que est bien défini.
3. Montrer que pour la matrice est inversible, et que pour inversible on a
  1. On admettra que pour , la fonction
est sur et que sa dérivée vérifie
Montrer que la solution de (1) est donnée par .
5. En utilisant un changement de variable, montrer, que pour toute donnée finale , l'équation (1) admet une unique solution .
6. On dira que le système (1) est irréversible bien orienté si pour toute norme sur on a
Il sera dit irréversible mal orienté si pour toute norme sur on a
On parlera simplement de système irréversible lorsque l'orientation ne sera pas précisée. Dans le cas contraire, le système sera dit non orienté. Montrer que les assertions (2) et (3) sont vérifiées pour toute norme sur dès qu'elles sont vérifiées pour la norme euclidienne canonique .
7. Le but de cette question est de démontrer le théorème de trigonalisation de Schur : toute matrice de est semblable dans à une matrice de (triangulaire supérieure). Nous allons raisonner par récurrence sur la dimension .
(a) Montrer que la propriété est vraie pour .
(b) Montrer que, pour , toute matrice de est semblable à une matrice qui s'écrit par blocs
.
(c) Appliquer l'hypothèse de récurrence à la matrice et conclure.
8. Montrer que, pour tout , toute matrice est semblable à une matrice de la forme avec la matrice diagonale dont les coefficients diagonaux sont les valeurs propres de et une matrice dont tous les coefficients sont de modules plus petits que . On pourra utiliser la question précédente ainsi que le changement de base par la matrice de passage pour un bien choisi.
9. Montrer que pour un réel et une fonction numérique dérivable sur un intervalle de , l'inégalité différentielle implique pour tout segment inclus dans .
10. On considère avec et une matrice dont tous les coefficients sont de modules plus petits que . Montrer en utilisant les questions précédentes que les solutions de (1) vérifient
avec .
11. On considère une matrice . En utilisant les questions précédentes 5 et 6 , montrer l'équivalence entre le fait que le système (1) soit irréversible bien orienté et le fait que les valeurs propres de soient toutes de partie réelle strictement négative. De même montrer l'équivalence entre le fait que le système (1) soit irréversible mal orienté et le fait que les valeurs propres de soient toutes de partie réelle strictement positive.
12. Montrer qu'un système irréversible bien orienté vérifie
et qu'un système irréversible mal orienté vérifie

2 Matrices et entropie

  1. On considère une norme associée à un produit scalaire sur , que nous noterons pour deux vecteurs . On rappelle l'identité . On appelle entropie du système (1) une norme associée à un produit scalaire sur qui vérifie
et on appelle entropie stricte du système (1) une norme associée à un produit scalaire sur qui vérifie
Justifier que ces définitions ont bien un sens (justifier en particulier la dérivabilité par rapport à ).
2. On considère la matrice suivante de :
(a) Calculer explicitement la matrice pour tout .
(b) Montrer que le système (1) associé à est irréversible bien orienté.
(c) Montrer que la norme euclidienne n'est pas une entropie pour ce système.
3. En vous inspirant de la question précédente, montrer que plus généralement, en toute dimension , il existe des matrices telles que le système (1) soit irréversible bien orienté mais dont la norme euclidienne usuelle sur n'est pas une entropie.
4. On souhaite montrer le théorème suivant : tout système irréversible bien orienté admet une entropie stricte.
(a) Montrer que pour un système irréversible bien orienté, pour toute norme associée à un produit scalaire sur ,
pour des constantes et . On utilisera les questions 8,11 et 12 de la partie 1.
(b) Montrer que la borne supérieure des pour lesquels (4) est vrai est la plus grande des parties réelles des valeurs propres (et donc qu'elle ne dépend pas de la norme ). On pourra s'inspirer de la question 11 de la partie 1 .
(c) Cette borne inférieure est-elle toujours atteinte (i.e., (4) est-elle toujours vérifiée pour ) ? (on démontrera la réponse).
(d) On considère une norme associée à un produit scalaire sur . Montrer que les deux assertions suivantes sont équivalentes :
(i) La norme est une entropie stricte du système (1).
(ii) L'inégalité (4) est vérifiée pour la norme avec des constantes et .
(e) Montrer que la norme définie par le produit scalaire suivant est bien définie :
Démontrer le théorème annoncé au début de la question 4 en utilisant .
5. Dans le cas de la dimension et de la matrice de la question 2, calculer explicitement la norme définie dans la question 4 (e).
6. On considère une fonction de la variable réelle , continue et bornée sur avec , et un système (1) irréversible bien orienté en dimension . On note pour tout et , où est la solution de (1) au temps pour la donnée initiale . Montrer que l'intégrale
est bien définie et converge vers 1 lorsque .

3 Matrices et hypocoercivité

On dira que le système (1) est hypocoercif s'il admet une entropie stricte mais que la norme euclidienne usuelle est une entropie mais pas une entropie stricte pour ce système.
  1. Montrer que la norme euclidienne usuelle est une entropie de (1) si et seulement si on a l'inégalité suivante :
et qu'elle est une entropie stricte de (1) si et seulement si on a :
Remarquer que cette formulation ne dépend plus du problème d'évolution. Nous parlerons donc sans ambiguïté d'hypocoercivité pour une matrice .
2. Montrer que si où de valeurs propres toutes strictement négatives et , alors le système est irréversible bien orienté et admet la norme comme entropie stricte. On utilisera le fait que toute matrice est semblable (dans ) à une matrice diagonale.
3. On considère, avec , la matrice avec
Montrer l'hypocoercivité de et calculer la norme de la question 4 (e), Partie 2.
4. On considère maintenant sur ( ) avec
où est la matrice carrée de taille définie dans la question est une matrice diagonale avec une valeur propre nulle et les autres strictement négatives : . Montrer que le système (1) est irréversible bien orienté.
5. Sous les mêmes hypothèses que la question précédente, montrer l'hypocoercivité de la matrice .
6. Montrer que si est une matrice nilpotente non nulle sur , alors
On pourra commencer par montrer qu'il existe deux vecteurs unitaires tels que et .
7. On considère une matrice , avec matrice symétrique de valeurs propres toutes strictement négatives, matrice antisymétrique, matrice réelle nilpotente non nulle, et . Montrer qu'il existe tel que :
  • pour , la norme euclidienne est une entropie stricte,
  • pour , la norme euclidienne n'est pas une entropie,
  • pour , la norme euclidienne est une entropie mais pas une entropie stricte.
  1. Montrer que les matrices irréversibles bien orientées forment un ensemble ouvert parmi les matrices (dans cette question et les suivantes, on identifiera avec et on utilisera les notions de topologie de ).
  2. On appelle l'ensemble des matrices qui admettent la norme euclidienne comme entropie et l'ensemble des matrices qui admettent la norme euclidienne comme entropie stricte. Montrer que est un ensemble convexe fermé et est un ensemble convexe ouvert.
  3. On appelle point extrémal d'un ensemble convexe un point de qui ne peut s'écrire comme barycentre de points de distincts de lui-même. Déterminer l'ensemble des points extrémaux de l'ensemble
où on a noté .
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