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X ENS Mathématiques PSI 2009

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Algèbre bilinéaire et espaces euclidiensAlgèbre linéaireRéductionTopologie/EVN
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Banque
X-ENS
Année
2009
Filière
PSI
Matière
Maths
X-ENS PSIX-ENS 2009PSI MathsMaths 2009
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Banque commune École Polytechnique - ENS de Cachan PSI
Session 2009

Épreuve de Mathématiques

Durée : 4 heures

Aucun document n'est autorisé

L'usage de calculatrice électronique de poche à alimentation autonome, non imprimantes et sans document d'accompagnement, est autorisé selon la circulaire du février 1999. De plus, une seule calculatrice est admise sur la table, et aucun échange n'est autorisé entre les candidats.
Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

Préambule

Dans tout le texte désigne l'ensemble des matrices à lignes, colonnes et à coefficients complexes; on notera la matrice identité de . Pour , le spectre de est le sous-ensemble de constitué des valeurs propres de . Si , on notera le conjugué de la transposée de . On identifiera les vecteurs de avec les éléments de . On utilisera la notation pour désigner la matrice diagonale de dont les coefficients diagonaux sont les .
L'espace vectoriel est muni du produit scalaire hermitien,
et pour tout sous-espace vectoriel de , on note l'orthogonal de dont on rappelle qu'il est de dimension
Étant donnés des vecteurs de , le sous-espace vectoriel de qu'ils engendrent sera noté . Dans le problème nous aurons besoin du vocabulaire suivant : est dite
  • hermitienne si ;
  • anti-hermitienne si ;
  • unitaire si .
Aucune connaissance spécifique sur ces matrices n'est requise à l'exception du théorème de réduction suivant que l'on admet; quand son invocation sera nécessaire pour répondre à la question posée, nous le signalerons systématiquement dans le texte.

Théorème T .

  • Soit une matrice hermitienne. Il existe une matrice unitaire telle que est diagonale réelle.
  • Soit une matrice anti-hermitienne. Il existe une matrice unitaire telle que est diagonale imaginaire pure.
    Pour et des parties de désigne la partie de dont les éléments sont ceux qui peuvent s'écrire sous la forme avec et :
De même et . On notera enfin
où (resp. ) désigne la partie réelle (resp. imaginaire) du nombre complexe .

Première partie

  1. Pour tout nombre réel , on définit les matrices
Calculez et .
2) En vous aidant des matrices et , justifiez le fait que l'on ne peut pas en général, borner en fonction seulement de et .
3) Soit hermitienne; d'après le théorème est diagonalisable dans une base orthonormée de vecteurs de . Pour tout , on note la valeur propre associée à et on suppose que celles-ci sont ordonnées par ordre croissant, c'est à dire
Pour , on note l'ensemble des sous-espaces vectoriels de dimension de .
3-a) Montrez que pour tout , la dimension de est supérieure ou égale à 1 .
3-b) Pour , montrez qu'il existe un vecteur non nul tel que .
3-c) Donnez un sous-espace vectoriel appartenant à tel que .
3 -d) Déduisez de ce qui précède que pour tout , on a
3-e) Soient des matrices hermitiennes de valeurs propres respectives
On classe de même les valeurs propres de . Montrez que, pour tout , on a

Deuxième partie

  1. Pour , on note le sous-ensemble de défini par
4-a) Pour , montrez que pour tout , .
4-b) On note . Montrez que .
4-c) Montrez que pour , on a .
4-d) Montrez que pour , on a .
4-e) Montrez que pour , on a .
4-f) Montrez que pour des nombres réels,
4-g) Montrez que si est unitaire alors .
4-h) En utilisant le théorème , déterminez dans le cas où est une matrice hermitienne.
4-i) Montrez que pour est une partie compacte de .
5) On rappelle qu'une matrice est dite nilpotente s'il existe tel que est la matrice nulle.
5-a) Montrez, en utilisant par exemple le théorème de Cayley-Hamilton, que est nilpotente si et seulement si .
5-b) Soit telle que .
i) Montrez que est nilpotente.
ii) Montrez que .
iii) Déduisez des questions précédentes que est la matrice nulle.

Troisième partie

  1. Soit . Pour , on note
6-a) On suppose que pour tout , on a . Montrez que est inversible.
6-b) Déduisez de la question précédente que où
  1. Un sous-ensemble de est dit convexe s'il vérifie la propriété suivante :
7-a) Montrez que l'intersection d'une famille quelconque de sous-ensembles convexes de est un sous-ensemble convexe de .
7-b) Montrez que pour toute partie de , il existe un plus petit ensemble convexe contenant : on le note et on l'appelle l'enveloppe convexe de .
7-c) Montrez que est égal à l'ensemble :
7-d) Soit un convexe fermé de qui ne contient pas 0 . Montrez qu'il existe un unique tel que .
7-e) Construisez une droite du plan complexe d'équation de la forme où et telle que et pour tout .
7-f) Montrez qu'un convexe fermé de ne contient pas 0 si et seulement s'il existe un réel tel que soit contenu dans .
8) Pour tout , on pose ainsi que
dont on admet qu'il est fermé.
8-a) Montrez que , si et seulement s'il existe un réel tel que .
8-b) Montrez que si et seulement si pour tout , on a .
8-c) On suppose que et on rappelle que désigne la matrice hermitienne . En remarquant que , montrez que et déduisez-en que .
8-d) Montrez que implique .
8-e) Déduisez de ce qui précède que .

Quatrième partie

Le rayon spectral d'une matrice est défini par
D'après la compacité de prouvée à la question 4-i), on définit le rayon numérique de par
Étant donnée une norme sur , la norme sur subordonnée à sur est définie par la formule suivante:
Pour et , on notera sa -ème coordonnée.
9) Une norme matricielle sur est par définition une norme telle que pour tous , on a .
9-a) Montrez qu'une norme subordonnée est une norme matricielle.
9-b) On note la norme subordonnée à la norme définie par . En utilisant le théorème , montrez que pour tout est égale à la racine carrée positive de la plus grande des valeurs propres de .
9-c) On admet que les normes et subordonnées respectivement aux normes et sont données par les formules
i) Montrez que pour tout .
ii) Montrez, en utilisant 8-e), que pour tout ,
iii) Déduisez des questions précédentes que .
10) On note désormais la fonction qui à associe .
10-a) Montrez que est une norme sur l'espace vectoriel .
10-b) Soient et . Calculez et . La norme définie par est-elle matricielle?
10-c) Montrez que pour tout , on a ; en utilisant le théorème montrez que l'on a égalité si est hermitienne ou antihermitienne.
10-d) En écrivant montrez que .
10-e) Déduisez de ce qui précède que est une norme matricielle sur .
10-f) Montrez que pour réel strictement positif, est une norme matricielle sur si et seulement si .

FIN DE L'ÉPREUVE

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