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X ENS Mathématiques PSI 2008

Indice de rotation d'une courbe simple

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Fonctions (limites, continuité, dérivabilité, intégration)Algèbre généraleGéométrieNombres complexes et trigonométries, calculs, outilsSuites et séries de fonctions
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Banque
X-ENS
Année
2008
Filière
PSI
Matière
Maths
X-ENS PSIX-ENS 2008PSI MathsMaths 2008
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Banque commune École Polytechnique - ENS de Cachan PSI

Session 2008

Épreuve de MATHÉMATIQUES

Durée : 4 heures

Aucun document n'est autorisé
L'usage de toute calculatrice est interdit

Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être un erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

Indice de rotation d'une courbe simple.

Dans tout ce problème, désigne un réel strictement positif.

1 Première partie

On note l'ensemble des nombres complexes de module 1 . On note l'ensemble des applications -périodiques et continues de à valeurs dans U et l'ensemble des applications -périodiques de classe de à valeurs dans . On appelle relèvement de une fonction continue telle que .
  1. Montrez que si , et si est un relèvement de que l'on suppose de plus dérivable, alors .
    Montrez que, réciproquement, tout admet un relèvement qui est de classe et qui est une primitive de .
  2. Montrez que si est un relèvement de et est un relèvement de , alors est un relèvement de .
  3. Montrez que si est de partie réelle positive, alors , où est la partie imaginaire de , puis que si vérifie , alors admet un relèvement à valeurs dans .
  4. Montrez que pour tout , il existe tel que . Montrez que ne s'annule pas et que vérifie et . Déduisez-en que tout admet un relèvement.
  5. Montrez que si et sont deux relèvements d'un même , alors est une fonction constante, égale à un multiple entier de . Déduisez-en que si et si est un relèvement de , alors est de classe .

2 Deuxième partie

  1. Soit , soit un relèvement de et soit un réel. On pose
et on appelle ce nombre le degré de . Montrez que est un entier et ne dépend ni du choix du relèvement , ni de .
7. Soient et tels que . Montrez que pour tout et tout réel l'équation admet au moins solutions distinctes dans l'intervalle .
8. Que vaut si n'est pas surjective ?
9. Montrez que pour tous on a et .
10. Montrez que si et si , alors , puis que .
11. Montrez que si est de classe par morceaux alors pour tout réel on a
  1. Montrez que si est de classe par morceaux alors
où désignent les coefficients de Fourier de .
13. Soit et soit un relèvement de . Soit et
Montrez que si est fini et si pour tout on a , alors , où et .

3 Troisième partie

On appelle homotopie entre et une application continue
telle que, , et
(i) ,
(ii) .
S'il existe une homotopie entre et , on dit que est homotope à .
14. Montrez que si satisfait la condition (i) ci-dessus et est lipschitzienne sur , où est un réel arbitraire, alors la condition (ii) est vérifiée.
15. Montrez que si est une homotopie entre et , alors .
16. Montrez que pour tout nombre complexe tel que , l'application définie pour par
appartient à , puis que . (Indication: on pourra considérer les applications , où parcourt l'intervalle .)
17. Montrez que si et , alors est homotope à l'application constante égale à 1 .
18. Montrez que sont homotopes si et seulement si .

4 Quatrième partie

On note l'ensemble des arcs paramétrés de classe et -périodiques de dans identifié à , réguliers à l'ordre 1 en chaque point, c'est-àdire dont la dérivée ne s'annule pas. On dira que est simple si la restriction de à est injective.
Si , on appellera application tangente de l'application définie par
pour . On appellera indice de l'entier
  1. Déterminez , où et .
  2. On pose , et on désigne par son application tangente. Montrez que pour tout réel on a , puis que . 21. Montrez que si est paramétrée par l'abcisse curviligne, alors est l'intégrale de la courbure de entre 0 et .
On suppose à présent que et que de plus est simple. Pour tous tels que , on pose
et pour tout et tout on pose
  1. Montrez que l'application est bien définie sur , ne s'annule pas, et que pour tous on a et .
  2. Soit . Montrez que la fonction définie pour par se prolonge par continuité sur en une fonction de classe .
  3. En écrivant comme un reste intégral, montrez que la fonction définie pour par se prolonge par continuité en une fonction de classe sur .
  4. Montrez que est de classe sur l'ouvert défini à la question 23 , puis sur . Montrez que est lipschitzienne sur .
  5. Montrez qu'il existe un réel tel que , et que pour un tel le nombre complexe est imaginaire pur. On supposera dans la suite de cette partie que convient.
    27 . Soit l'application définie par
Soit l'application -périodique de dans dont la restriction à est .
Montrez que et que .
28. Montrez , que la partie réelle de est positive sur et que pour tout on a .
29 . Déduisez de ce qui précède que la fonction définie par
est un relèvement de sur l'intervalle . Montrez que , puis que .
30. Pour tout on pose , et pour tout on pose . Montrez que l'application est lipschitzienne sur .
Soit l'application -périodique de dans dont la restriction à est . Montrez que définit une homotopie entre et l'application tangente de , et que .

Fin de l'épreuve

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