DURÉE: 4 HEURES

Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

Le but général de ce problème est d'étudier différentes méthodes d'approximation de deux réels particuliers, d'une part et la constante d'Euler d'autre part. La définition de ces deux réels sous forme de limites de suites et les premiers encadrements associés sont étudiés dans la partie I. Une autre méthode d'approximation de la constante d'Euler à l'aide d'une expression de celle-ci sous forme d'intégrale est proposée dans la partie II. La partie III consiste à exprimer à partir de la somme d'une certaine série alternée. Les parties IV et V proposent ensuite deux méthodes générales d'accélération de convergence pour le calcul des sommes de séries alternées et les appliquent à l'approximation de . Les cinq parties sont assez largement indépendantes.

Dans tout le problème, on note pour tout la somme de la série álternée de terme général pour et pour tout la somme de la série de terme général pour .

1.1 En appliquant une formule de Taylor à la fonction définie pour , montrer que

1.2 En déduire une première méthode d'approximation permettant d'obtenir avec une précision donnée.
1.3 On définit la suite de terme général pour par la relation:

Montrer que pour tout .
1.4 Montrer que la suite est monotone. En déduire que la suite est convergente.

Dans toute la suite de ce problème, on définit un réel, noté et appelé constante d'Euler, par la relation:

1.5 Pour tout , on note le domaine de défini par:

Représenter graphiquement dans le plan muni du repère orthonormé ( ) et montrer que l'aire de est égale à .
1.6 Montrer que l'aire de est comprise entre et .
1.7 En déduire l'encadrement suivant de la constante d'Euler valable pour tout :

1.8 Décrire une première méthode d'approximation permettant d'obtenir avec une précision donnée. On supposera connue une approximation de la fonction logarithme avec une précision arbitraire.

2.1 Soit . Montrer que la fonction réelle définie sur ] [ et telle que est croissante et vérifie .
2.2 Montrer que les intégrales pour et sont correctement définies.
2.3 Montrer que .
2.4 Etablir l'expression suivante de :

En déduire que la constante d'Euler définie par la relation (2) peut aussi s'exprimer sous la forme d'une intégrale:

2.5 Montrer qu'on peut définir deux fonctions et sur par les relations suivantes:

et que ces deux fonctions vérifient pour tout :

2.6 Montrer que pour tout , on a .
2.7 Etablir les inégalités suivantes valables pour tout et tout entier :

2.8 Proposer une méthode permettant de déterminer, à fixé, une valeur de et une valeur de de telle sorte qu'on ait:

3.1 Montrer que la fonction définie dans le préambule est une fonction continue sur .
3.2 Montrer que est une fonction dérivable sur et exprimer sa dérivée sous forme de série.
3.3 Vérifier que pour tout , on a où la fonction a été définie dans le préambule.
3.4 En remarquant que pour tout et tout , établir que

où représente la partie entière du réel .
3.5 Montrer qu'au voisinage de par valeurs supérieures, on a

où désigne la constante d'Euler définie par la relation (2).
3.6 Vérifier que la série de terme général pour est une série alternée. En notant sa somme, montrer à l'aide des questions précédentes que

Dans toute cette partie, désigne une suite réelle convergente vers 0 . Cette suite est supposée de plus décroissante à partir de la question 4.4.
4.1 Soit une suite de réels strictement positifs telle la série de terme général diverge vers . Montrer que

4.2 On définit l'opérateur opérant sur une suite quelconque par la relation:

puis on note la puissance itérée -ième de l'opérateur :

Montrer que pour tous et dans , on a

4.3 Montrer, à fixé dans , que et, à fixé dans , que .
4.4 On suppose à partir de maintenant que la suite est décroissante et convergente vers 0 . On note la somme de la série alternée de terme général pour tout .

On definit pour tous et dans :

Montrer, à fixé dans N , que la série de terme général est convergente avec pour somme:

et, à fixé dans , que la série de terme général est convergente avec pour somme:

4.5 On note . Montrer que la série de terme général est convergente. On note sa somme.
4.6 Montrer que et .
4.7 En déduire que la série de terme général est convergente et a pour somme .
4.8 On suppose en outre que la suite peut s'écrire sous la forme pour tout où est une fonction appartenant à et telle que

Montrer dans ce cas que pour tout et tout . En déduire que pour tout ,

4.9 En appliquant les résultats de cette partie à la suite de terme général , proposer une méthode d'approximation de avec une précision donnée. Quelle expression de retrouve t -on?

Dans toute cette partie, désigne une suite réelle pouvant s'écrire pour tout :

où est une fonction réelle continue sur , positive et dont l'intégrale sur est convergente.
5.1 Montrer que la suite est décroissante et convergente vers 0 .
5.2 Soit une suite de fonctions réelles telle que, pour tout , et

Montrer que est un polynôme de degré et établir une relation entre et la fonction définie sur par l'expression:

Indication: on pourra essayer d'établir une relation de récurrence linéaire à deux termes sur les fonctions du même type que celle portant sur les fonctions .
5.3 Montrer que pour tout et tout :

En déduire que pour tout .
5.4 Pour tout , on définit le polynôme tel que et on note . Montrer que

avec

5.5 Calculer . En déduire que pour tout

où désigne la somme de la série alternée de terme général pour tout .
5.6 Soit . On suppose connus les premiers termes de la suite . On se propose d'étudier l'algorithme suivant, écrit ici de manière pseudo-informatique:
. ;
. Pour allant de 0 à , faire: