Durée: 4 HEURES

Soit un espace vectoriel normé de dimension finie sur ou . On note alors (resp. ) l'ensemble des applications continues (resp. de classe ) sur à valeurs dans .

Dans tout l'énoncé, désigne un entier naturel non nul, et l'on munit de la structure euclidienne canonique : pour désigne le produit scalaire de et , et , la norme associée.

La notation désigne l'ensemble des matrices à lignes et colonnes et à coefficients dans . Lorsque , on utilise également la notation . On note l'ensemble des matrices inversibles de . La matrice diagonale de dont les coefficients diagonaux valent 1 est notée . L'ensemble des valeurs propres complexes d'une matrice carrée est noté . Le polynôme est appelé puiynôme caractéristique de .

On identifie une matrice à l'application linéaire de matrice par rapport aux bases canoniques de et de .

Si a pour coefficients , la matrice de coefficients pour et est appelée transposée de , et notée . On identifie un vecteur colonne (resp. ligne) de à une matrice de (resp. ). En particulier, pour , la notation désigne le vecteur ligne de mêmes composantes que . Par conséquent, on a pour tout couple d'éléments de .

On appelle norme matricielle une norme sur telle que

(b) En déduire que la suite converge dans . On notera la limite de cette suite.
(c) Vérifier que et commutent, et que .
3. On suppose que est diagonalisable. Montrer que est diagonalisable et déterminer en fonction de .
4. Soit . Pour , on pose .
(a) Montrer que est une fonction de classe sur et vérifie l'équation différentielle

avec condition initiale .
(b) Plus généralement, montrer que si alors

est l'unique solution de classe de

Montrer que toutes les solutions de (1) sont asymptotiquement stables si et seulement si les valeurs propres de sont toutes à partie réelle strictement négative.

Dans cette partie, on se donne une paire ( ) constituée d'une matrice carrée et d'une matrice (avec éventuellement ). À cette paire, on associe une famille d'équations différentielles :

où la fonction (a priori inconnue) appartient à . Cette fonction est appelée contrôle.

On s'intéresse au problème de commandabilité associé à la paire ( ). Plus précisément, étant donné un temps et un vecteur , on cherche à déterminer s'il existe un contrôle tel que l'unique solution de (C) nulle en 0 vérifie . Si un tel contrôle existe, on dit que l'état est atteignable en temps . On note l'ensemble des états atteignables en temps .
6. Montrer que est un sous-espace vectoriel de .
7. Soit et un contrôle amenant l'état nul à à l'état au temps . Montrer que l'on a

On note .
(a) Montrer que pour tout , la matrice est combinaison linéaire de la famille .
(b) En déduire que .
9. On rappelle que si , alors désigne .
(a) Soit . Montrer que

(b) En déduire que puis comparer et .
(c) L'ensemble dépend-il de ?
10. On dit que la paire ( ) est commandable en temps si tout état est atteignable en temps (i.e. ).
(a) Montrer que la paire est commandable si et seulement si le rang de est .
(b) En déduire qu'une paire commandable en temps est aussi commandable en temps pour tout .
(c) Donner un exemple de paire non commandable.
11. On pose .
(a) Montrer que est une matrice carrée symétrique de taille , et que .
(b) Montrer que .
(c) Montrer que, pour toute matrice symétrique , on a .
(d) En déduire que .
12. Dans toute cette question, on suppose que la paire est commandable.
(a) Justifier l'inversibilité de .
(b) Soit . Pour , on pose . Montrer que le contrôle envoie l'état nul à sur l'état au temps .
(c) Montrer que pour tout contrôle transformant l'état nul à en l'état au temps , on a

(d) En déduire que le contrôle est celui qui minimise l'énergie : pour tout contrôle amenant 0 à en temps , on a

avec égalité si et seulement si .
13. Application : on s'intéresse à l'équation différentielle scalaire suivante

où et sont deux paramètres donnés, et .
(a) Résoudre (H) dans le cas et .
(b) Trouver une paire ( ) telle que ( ) puisse s'écrire comme un système de commande de type
( )

(c) La paire ( ) est-elle commandable?

Dans cette partie, on s'intéresse aux contrôles dépendant linéairement de la solution . Plus précisément, on suppose que où . De tels contrôles sont appelés retours d'état (en anglais feedbacks).

On cherche à déterminer s'il existe une matrice telle que toute solution de

soit asymptotiquement stable. Une paire ( ) vérifiant cette propriété est dite stabilisable.
14. Montrer que pour tout couple tel que , la paire associée à l'équation différentielle ( ) définie dans la question 13 est stabilisable.
15. Dans le cas , peut-on trouver un réel tel que toute solution de avec soit asymptotiquement stable?
16. On dit que la paire est conjuguée à la paire s'il existe telle que et . Montrer que la paire ( ) est commandable si et seulement si la paire ( ) l'est.
17. Dans toute cette question, on suppose que et que ( ) est commandable. On identifie au vecteur .
(a) Vérifier que la famille de vecteurs ( ) engendre et qu'il existe tel que

(b) On pose et l'on définit ( ) par la relation de récurrence pour . Montrer que ( ) est une base de .
(c) En déduire que la paire est conjuguée à la paire ( ) suivante :

(d) Soit un polynôme de degré n et de cafficient dominant (-1). Montrer qu'il existe tel que soit le polynôme caractéristique de la matrice .
(e) En déduire l'existence de tel que soit le polynôme caractéristique de la matrice .
18. Dans le cas , montrer que ( ) commandable entraîne ( ) stabilisable.