DURÉE: 4 HEURES

L'épreuve se compose de deux problèmes indépendants que les candidats peuvent traiter dans l'ordre de leur choix.

On se propose d'étudier la série de fonctions , où ; on rappelle que et que par convention .
I.1/ Montrer que la série est bien définie pour tout . On note sa somme. Montrer que est une fonction de classe .
I.2/ Quelle est la limite en de ?

On se propose de calculer un équivalent de lorsque . On introduit la fonction

I.3/ Montrer que est bien définie comme fonction de , périodique et de classe et donner une expression explicite de comme fonction de .
I.4/ Calculer les coefficients de Fourier de et en déduire que

I.5/ Étudier la convergence de la suite de fonctions de lorsque , et en déduire que

I.6/ Montrer que, pour ,

On prendra garde de justifier l'existence des diverses intégrales rencontrées dans le calcul.
I. Montrer que si , alors

et en déduire que pour ,

puis que

Quel est donc un équivalent de lorsque ?

On considère la bande du plan définie par , où ( ) sont les coordonnées d'un point dans le repère orthonormé usuel. On appelle ensemble de Besicovitch toute partie de ayant la propriété suivante : pour tout réel (la pente), contient un segment de droite, rejoignant le côté gauche de la bande ( ) à son côté droit ( ), et ayant pour pente. Autrement dit,

On va montrer qu'il existe des ensembles de Besicovitch dont l'aire est aussi petite que l'on veut.

L'ensemble des notations introduites dans chaque partie est conservé pour les parties suivantes.

On se donne , avec .

II.1/ Montrer que la partie définie par est un ensemble de Besicovitch. Quelle est son aire?
II.2/ Soient des nombres entiers, et notons le nombre rationnel défini par

a) Montrer que .
b) Montrer que si sont tels que

alors .
c) A on associe la fonction de dans ,

On définit le segment comme l'ensemble de . Quelle est la pente de ?
II.3/ Soit . On considère la bande , définie par

a) Montrer que est contenue dans une partie compacte de indépendante de et de .
b) Montrer que contient un segment de pente pour tous les dans l'intervalle .
II.4/ On appelle l'ensemble des nombres qui s'écrivent de la forme décrite dans la question II. 2 :

(C'est l'ensemble des nombres de dont la représentation en base n'a pas plus de "chiffres".)
On fixe et l'on définit alors l'ensemble .
a) On fixe . Représenter graphiquement l'ensemble et montrer qu'il s'agit d'un ensemble de Besicovitch.
b) On revient au cas général, , montrer que est un ensemble de Besicovitch.

Soit un entier, et la relation définie sur par

II.5/ Montrer qu'il s'agit d'une relation d'équivalence et en déduire une partition de l'ensemble .
II.6/ Caractériser les classes d'équivalence de et montrer qu'il y en a . Quel est le cardinal de chacune?
II.7/ Montrer que si deux nombres et de sont équivalents pour la relation , alors, si on a

En déduire que

où est une constante indépendante de .
II.8/ Soit et . Montrer qu'il existe un entier tel que soit contenu dans la réunion de intervalles de (non nécessairement disjoints), chacun de longueur au plus .

II.9/ On conserve fixé.
a) On appelle la droite d'équation , et on considère son intersection avec une bande de l'ensemble . Montrer que cette intersection est un intervalle de longueur . On notera par la suite la fonction caractéristique de cet intervalle.
b) Montrer qu'il existe tel que l'ensemble est contenu dans la réunion de intervalles (non nécessairement disjoints), chacun de longueur au plus (un dessin pourra utilement guider le raisonnement).
II.10/ On appelle la fonction caractéristique de l'ensemble . Montrer que

et en déduire qu'il existe , avec tel que pour tout on a

où est la fonction caractéristique de l'intervalle . Retrouver ainsi le résultat de la question II.3.a.
II.11/ On définit alors

a) Montrer que est bien définie.
b) Que représente géométriquement ?
c) Montrer que .
II.12/ On admet que la fonction définie pour est affine par morceaux. En déduire que est bien définie. Expliquer brièvement pourquoi il s'agit de l'aire de .
II.13/ Montrer que .

Pourquoi l'ensemble est-il une réponse au problème initialement posé?
II.14/En déduire qu'il existe dans le plan des ensembles contenant un segment de longueur au moins 1 dans toutes les directions et dont l'aire est aussi petite que l'on veut.