X ENS Mathématiques PSI 2000

Durée : 4 heures

L'usage de calculatrices électroniques de poche à alimentation autonome, non imprimantes et sans document d'accompagnement, est autorisé pour toutes les épreuves d'admissibilité, sauf pour les épreuves de français et de langues. Cependant, une seule calculatrice à la fois est admise sur la table ou le poste de travail, et aucun échange n'est autorisé entre les candidats.

La plus grande attention sera accordée à la rigueur et à la clarté de la rédaction.

Un résultat énoncé dans une question peut être utilisé dans la suite sans démonstration.

Au cours de ce problème nous étudierons certaines propriétés de la fonction lorsqu'elle est solution de l'équation différentielle ordinaire (parties II et III)

ou lorsque qu'elle est solution non nulle de l'équation différentielle ordinaire (partie IV)

Dans tout le problème, est une fonction de classe donnée sur l'intervalle et est une fonction de classe strictement positive donnée sur l'intervalle . On sait qu'il existe alors un nombre réel strictement positif tel que

1.1. Soit une solution de l'équation différentielle (1). Montrer que est de classe sur l'intervalle .
1.2. Soit ( ) trois nombres réels donnés.

Discuter suivant les valeurs de et le nombre de solutions de l'équation (1) vérifiant les conditions initiales

1.3 Le théorème de Cauchy-Lipschitz s'applique-t-il à l'équation (1) avec les conditions

1.4 Soit une fonction de classe sur un intervalle . On suppose que possède un minimum local en . Montrer que

L'objectif de cette partie est de montrer qu'il y a existence et unicité de la solution du problème (1) avec les conditions (4).
2.1 On suppose que est une fonction positive : . Soit une solution de l'équation (1).

2.2 On suppose que est une fonction négative : . Montrer que si est solution de l'équation (1) et vérifie les conditions (4) alors

2.3 Soit un nombre réel donné. Soit la solution de l'équation (1) avec les conditions initiales et . On pose

Montrer que est une application affine de dans .
2.4 Montrer que est une application injective.
2.5 Montrer l'existence et l'unicité de la solution de

Dans cette partie nous étudions une méthode d'approximation numérique de la solution u du système (5).

On considère le vecteur avec . Les composantes de sont notées . On pose et . On considère le système linéaire

3.1 On suppose que pour tout . On fait l'hypothèse que est une solution du système (6).

Montrer que pour tout .
Indication : on pourra introduire .
3.2. Montrer que le système (6) possède une solution unique.
3.3 Soit la solution de (5) et la solution de (6). On pose . Montrer que

avec

En déduire l'inégalité

désignant la dérivée quatrième de au point .
3.4 On pose

Soit pour ,

Montrer que pour

3.5 Soit pour ,

Montrer que pour

3.6 En déduire que

Que peut-on dire quand ?
3.7 On pose pour . Montrer qu'il existe une constante telle que

3.8 Soit la fonction définie sur l'intervalle par

et

Montrer qu'il existe une constante , telle que

3.9 Montrer que pour la solution de (5)

En déduire qu'il existe une constante ainsi qu'une combinaison linéaire des , que l'on notera , telle que

Dans cette partie on conserve l'hypothèse (3) faite sur , et on considère pour le système

Nous allons étudier pour quelles valeurs de ce système possède une solution non identiquement nulle.

Soit . Soit la solution de l'équation (2) avec et . On pose

4.1 Montrer que le système (7) possède une solution non identiquement nulle si et seulement si .
4.2 Montrer que pour toute solution du système (7)

4.3 On suppose que . Existe-t-il des solutions non identiquement nulles du système (7) ?

Dans les questions qui suivent on suppose que et on pose .
4.4 Montrer que

4.5 On pose

Montrer que

4.6 Montrer qu'il existe une constante indépendante de , que l'on déterminera, telle que

4.7 On considère le cas lorsque est entier. Montrer qu'il existe tel que

4.8 On considère le cas lorsque est entier. Montrer qu'il existe tel que

4.9 Soient et deux nombres réels. On pose .

Montrer qu'il existe deux constantes et telles que

On pourra utiliser la représentation intégrale (8).
Soit la fonction . Montrer qu'il existe une constante telle que

4.10 Montrer la continuité de la fonction pour .
4.11 Montrer qu'il existe une suite infinie telle que
a) il existe une solution non identiquement nulle du système (7) pour ,
c) tend vers quand .