Dans toute la suite, désignera un entier strictement positif. On désignera par l'espace vectoriel sur des matrices carrées de taille à coefficients dans . Pour tous on notera

où

est la trace de la matrice

sa transposée. Selon la convention habituelle,

désigne le coefficient de la

-ème ligne et de la

-ème colonne de la matrice

pour tout

Pour tout vecteur , on notera sa norme euclidienne canonique. Un tel vecteur sera considéré comme un vecteur colonne et sera le vecteur ligne associé. On notera le produit scalaire usuel sur lorsque et sont dans . En particulier on aura .
On notera la matrice identité de . On désignera par

le groupe orthogonal sur

et par

le groupe spécial orthogonal, où

désigne le déterminant de

. On notera

Pour toute famille de vecteurs de , on notera la matrice de dont la i-ème colonne de est formée des coordonnées du vecteur .
Pour toute famille de réels , on notera la matrice diagonale de de coefficients diagonaux .

1. Préliminaires

(1) Soit

. Vérifier que

.
(2) Vérifier que

est un produit scalaire sur l'espace vectoriel

. On notera

la norme associée.
(3) (a) Montrer que pour tous

, on a

.
(b) Montrer que

pour

.
(c) En déduire que pour tous

dans

on a

(4) Soit

une matrice diagonale à coefficients positifs et soit

.
(a) Montrer que pour tout

, on a

où

est le

-ème coefficient diagonal de

.
(b) En déduire que

2. Ensemble des déplacements de

Pour tout

, on note

l'application définie par

On remarquera que lorsque

est une rotation vectorielle de l'espace

, et lorsque

est une translation. Dans le cas général, on dira que

est un déplacement de l'espace

.
(5) (a) Vérifier que pour tous

, on a

.
(b) Montrer pour tous

, on a

si et seulement si

.
(c) Montrer qu'il existe un unique

tel que

soit l'application identité sur

c'est-à-dire que

pour tout

.
(6) (a) Vérifier que pour tous

, il existe un unique

tel que

. On notera

cet élément dans la suite.
(b) Vérifier que pour tous

dans

on a

.
(7) Soit

.
(a) Montrer que

est bijective. On note

son application réciproque.
(b) Montrer qu'il existe un unique

, que l'on explicitera en fonction de

, tel que

. On notera

.
(c) Vérifier que

puis que

.
(8) Pour quelles valeurs de

a-t-on

pour tous

3. Distance À déplacement près

On considère

un entier strictement positif et

l'espace vectoriel des familles de

points dans

muni de la norme

. Pour tous

on note

(9) (a) Montrer que pour tous

, on a

.
(b) Montrer que pour tous

et tout

, si

alors

Pour tous

, on note

(10) (a) Montrer que pour tous

et tout

, on a

(b) En déduire que

.
(c) Montrer que pour tous

, on a

(d) En déduire que

.
(11) Pour tout

, on note

.
(a) Montrer que si

alors

.
(b) Montrer que si

alors

4. Un problème d'optimisation

On fixe dans cette partie

et on introduit pour tout

où

.
(12) On note

.
(a) Montrer que

.
(b) En déduire que pour tout

, l'application

dans

a un unique minimum, noté

, que l'on explicitera.
(13) On munit

de la topologie associée à la norme

.
(a) Montrer que l'application

définie par

est continue.
(b) Montrer que

est un sous-ensemble fermé borné de

.
(14) (a) Montrer qu'il existe

tel que

pour tout

.
(b) Montrer que

n'est pas forcément unique.
(15) Montrer que si

alors

où

est une matrice que l'on précisera.

5. Calcul de dans le cas où .

Soit

une matrice inversible. On note

.
(16) Montrer qu'il existe une famille décroissante

de réels strictement positifs et une base orthonormée

telle que

pour tout

On appellera valeurs singulières de

la famille

.
(17) On considère

pour tout

.
(a) Montrer que

est une base orthonormée de

.
(b) Vérifier que si

alors

.
(18) Mettre sous la forme précédente

, en spécifiant vos choix de

, les matrices

.
(19) On considère que

.
(a) Montrer que si

alors

.
(b) Montrer que

(20) Donner la valeur de

en fonction de

et des valeurs singulières de

dans le cas où

6. Le cas où

On considère

.
(21) (a) Montrer que si

est une valeur propre de

alors

.
(b) Montrer que

.
(c) En déduire que si

alors

On suppose dorénavant que

.
(22) (a) Montrer qu'il existe une base orthonormée (

) de

telle que l'on a

pour tout

où

.
(b) En déduire que

puis que

On considère une matrice

diagonale de coefficients diagonaux

décroissants. On note

.
(23) (a) Vérifier que

où

.
(b) Montrer que si

alors

.
(24) On pose

.
(a) Montrer que

.
(b) Montrer que

.
(c) Montrer que

et en déduire que

.
(25) (a) Montrer que

où

.
(b) En déduire que

.
(26) Donner la valeur de

en fonction de

et des valeurs singulières de

dans le cas où