X ENS Mathématiques PC 2022

ECOLE POLYTECHNIQUE - ESPCI ECOLES NORMALES SUPERIEURES

CONCOURS D'ADMISSION 2022

Notations

• Si est un nombre complexe on note son module.
• Si est un entier strictement positif, on munit l'espace vectoriel de la norme définie par

• On note l'ensemble des matrices de taille à coefficients complexes.
• Si , on désigne par (le spectre de ) l'ensemble des valeurs propres complexes de , et

• Étant donné un ensemble , un point fixe d'une application est un élément de tel que .

Première Partie. Points fixes

1. Soit un intervalle fermé borné de . Si est continue, montrer que possède au moins un point fixe.
2. Si est de classe et vérifie

4. Soit un entier strictement positif. On se donne une suite de vecteurs dans telle que la série converge.
   (a) Montrer que la suite est convergente.
   (b) Notons la limite de cette suite. Majorer au moyen d'un reste de la somme de la série .
5. Soit un entier strictement positif. Soit une partie fermée de et soit une application. On suppose qu'il existe tel que

Deuxième Partie. Matrices contractantes

1. Pour une matrice triangulaire , calculer explicitement les puissances successives pour entier strictement positif.
2. Soit une matrice et soit un nombre réel.
   (a) Montrer l'existence d'un nombre réel tel que pour tout entier positif les valeurs absolues des coefficients de soient majorées par .
   (b) En déduire l'existence d'un nombre réel tel que pour tout entier positif et tout on ait

3. Soit une matrice et soit un nombre réel strictement positif.
   (a) Pour , montrer que la série

4. (a) Si est diagonalisable, montrer qu'il existe une norme sur telle que pour tout . Indication: on pourra vérifier que si , alors est une norme sur .
   (b) Montrer qu'il existe une matrice telle que, pour toute norme sur il existe tel que .
5. Soit une application et soit un point fixe de . Soit une matrice vérifiant , et soit un nombre réel. On suppose que satisfait

Troisième Partie. Fonctions de deux variables réelles

1. Soient quatre nombres réels tels que et . Soit un ouvert de contenant . Soit une fonction de classe .
   (a) Montrer l'identité

2. Soit un intervalle ouvert de . On se donne une fonction de classe , telle que pour tout . Montrer que est bijective de sur l'intervalle ouvert .
   On note sa fonction réciproque. Rappeler la valeur de . Exprimer en fonction des dérivées successives de en .
3. On conserve, jusqu'à la fin de cette troisième partie, les hypothèses et la notation de la question précédente. Pour tels que , on pose

Quatrième Partie. Méthode de la sécante

1. Illustrer la construction ci-dessus au moyen d'une figure. Lorsque sur , exprimer en fonction de au moyen de la fonction définie dans la question 3 de la troisième partie.
2. Dans cette question, on examine le cas particulier d'une fonction polynomiale du second degré définie par la formule où et sont réels et . On prend .
   Pour on définit , avec la convention .
   (a) Pour montrer qu'on a si et seulement si .
   (b) Expliciter la relation de récurrence satisfaite par la suite et en déduire que la suite est bien définie quels que soient et dans .
   (c) Montrer que la suite tend vers 0 et en déduire que tend vers .
   (d) Soit . Montrer qu'il existe un nombre réel strictement négatif tel que

3. On revient au cas général, étant une fonction quelconque de classe . On suppose que s'annule en un point , pour lequel .
   (a) Montrer qu'il existe tel que et sur l'intervalle . On fixe un tel pour la suite et on définit