X ENS Mathématiques PC 2021

LUNDI 12 AVRIL 2021
08h00-12h00
FILIERE PC - Epreuve

MATHEMATI QUES (XEULC)

Durée : 4 heures
L'utilisation des calculatrices n'est pas
autorisée pour cette épreuve

Dans tout le problème, désigne l'ensemble des nombres réels et l'ensemble des nombres complexes. Par segment de , on entend un intervalle de la forme avec . On note le disque unité fermé dans :

L'intérieur et la frontière de sont notés et respectivement.

On note le -espace vectoriel des polynômes à coefficients complexes. Pour , on désigne par le sous-espace vectoriel des polynômes de degré au plus . Un polynôme est dit unitaire si son coefficient dominant est égal à 1 .

Étant donné une partie de et un polynôme , on pose :

Le but de ce problème consiste à établir des inégalités de la forme :

où et et sont des polynômes dans .

Le problème est divisé en quatre parties. Les deux premières parties permettent d'établir quelques résultats préliminaires qui sont utiles dans la suite. La troisième partie porte sur la situation où est le disque unité fermé dans et la quatrième partie est consacrée au cas où est un segment de .

Dans chaque partie, les définitions et résultats utiles qui ont été introduits antérieurement sont rappelés. Chaque partie peut donc être traitée de manière indépendante. On notera de plus que :

Soit une partie fermée, bornée et infinie de .
1.1. Montrer que appartient à pour tout .
1.2. Vérifier que est une norme sur .

Dans la suite de cette partie, on fixe deux entiers naturels et non nuls, et on pose :

1.3. Soient et deux polynômes non nuls dans . Montrer que :

1.4. Montrer que, si l'inégalité précédente est une égalité, alors il existe tel que :

1.5. Montrer que .

Pour ce faire, on pourra se donner deux éléments distincts a et dans et vérifier que, pour assez grand, on a avec et .
1.6. On introduit le -espace vectoriel ainsi que l'ensemble :

Montrer qu'il existe un couple tel que :

Pour ce faire, on pourra munir de la norme définie par

pour , puis étudier l'application

1.7. En déduire qu'il existe deux polynômes unitaires et tels que :

Les questions 1.5 et 1.7 montrent en particulier que .

Dans cette partie, il sera utile de calculer des intégrales de certaines fonctions qui ne sont pas nécessairement continues par morceaux. On généralise donc la notion d'intégrale absolument convergente de la manière suivante :

Définition 1. Étant donné deux réels et une application allant d'une partie de dans , on dit que l'intégrale converge absolument ou que est intégrable sur s'il existe un entier et des réels tels que et, pour tout , la fonction est bien définie, continue et intégrable sur . On pose alors :

On admettra que la définition précédente coïncide avec la définition de l'intégrabilité au programme pour les fonctions continues par morceaux. De plus, si besoin, on pourra utiliser librement, sans preuve, les versions améliorées suivantes de certains théorèmes au programme :

Théorème 1 (Théorème de convergence dominée). Soient deux réels. Soient et deux fonctions intégrables sur au sens de la Définition 1 et soient et leurs domaines de définition respectifs. Si ( ) est une suite de fonctions continues par morceaux sur convergeant simplement vers sur le domaine et telle que pour tout et tout , alors chaque terme de la suite ( ) est intégrable et:

Théorème 2 (Théorème de dérivation sous le signe intégrale). Soient deux réels et un intervalle de . Soit une fonction intégrable sur au sens de la Définition 1 et soit son domaine de définition. Si est une fonction définie sur telle que :
(i) pour tout , la fonction est continue par morceaux et intégrable sur ,
(ii) pour tout , la fonction est de classe sur ,
(iii) pour tout , la fonction est continue par morceaux sur ,
(iv) pour tout , on a ,
alors la fonction est de classe sur et, pour tout :

Soit un polynôme non nul.
2.8. Vérifier que l'intégrale :

converge absolument au sens de la Définition 1.
On pourra utiliser le théorème de d'Alembert-Gauss.
On pose:

et pour :

2.9. Expliquer pourquoi est strictement positif pour tout .

On définit la fonction :

2.10. Montrer que est continue sur .
2.11. Montrer soigneusement que est dérivable sur et calculer sa dérivée sur cet intervalle.
2.12. Calculer la limite de en puis déduire que :

La quantité est appelée la mesure de Mahler de . Le reste de cette partie vise à calculer la mesure de Mahler de en fonction des racines de . On rappelle que désigne le disque unité fermé dans et que l'on note et l'intérieur et la frontière de respectivement.
2.13. Pour chaque nombre complexe , on note la partie réelle de . Montrer que, pour tout :

Pour ce faire, on pourra écrire avec et , puis étudier la fonction :

2.14. Soit . Déduire de la question précédente que la mesure de Mahler du polynôme est 1 et, dans le cas où , que celle du polynôme est .
2.15. En utilisant la question précédente, montrer que, pour tout , la mesure de Mahler de est 1 .
Pour ce faire, on pourra s'intéresser à la fonction :

et remarquer que, pour tous et , on a l'inégalité .
2.16. Soit le coefficient dominant de et soient les racines de comptées avec multiplicité. Déduire des questions précédentes que :

Pour que cette partie puisse être traitée indépendamment des précédentes, on commence par rappeler la Définition 1 qui a été introduite au début de la partie II :

Définition 1 (rappel). Étant donné deux réels et une application allant d'une partie de dans , on dit que l'intégrale converge absolument ou que est intégrable sur s'il existe un entier et des réels tels que et, pour tout , la fonction est bien définie, continue et intégrable sur . On pose alors :

On fournit également l'encadré suivant, qui résume les résultats obtenus dans la partie II et qui sont utiles dans la suite :

D'après la question 2.8, étant donné un polynôme non nul , l'intégrale converge absolument au sens de la Définition 1. On peut donc définir la mesure de Mahler de par :

D'après la question 2.16, si est le coefficient dominant de et sont les racines de comptées avec multiplicité, alors :

On rappelle que désigne le disque unité fermé dans et que l'on note et l'intérieur et la frontière de respectivement. On se donne un polynôme et on note son degré.
3.17. Montrer que, pour tout et tout , on a:

3.18. En déduire que :

On pourra appliquer la question 3.17 à un élément tel que .
3.19. Montrer que, pour tout :

On pourra appliquer la question 3.18 aux polynômes et .
On fixe jusqu'à la fin de cette troisième partie deux entiers naturels non nuls et ainsi que deux polynômes et de degrés respectifs et . On introduit le polynôme et on note son coefficient dominant et ses racines comptées avec multiplicité.
3.20. Montrer qu'il existe et dans tels que :

3.21. En déduire que :

où est le polynôme défini par:

3.22. On pose . Montrer que :

3.23. On pose avec :

En utilisant les questions précédentes, montrer que:

Les deux questions qui suivent portent sur le calcul de la constante .
3.24. Montrer que :

On pourra utiliser le résultat de la question 2.13.
3.25. La calculatrice donne :

Peut-on en déduire l'arrondi de à près? Si oui, donner la valeur de cet arrondi. Dans tous les cas, justifier proprement la réponse.

Dans la dernière question de cette troisième partie, on cherche à montrer que, dans l'inégalité de la question 3.23, la constante est optimale.
3.26. Pour chaque entier naturel , on pose:

où désigne l'ensemble des racines -ièmes de l'unité telles que et l'ensemble des racines -ièmes de l'unité qui ne sont pas dans . En minorant le quotient:

montrer que :

où désigne le degré de .

Soit un segment de , et soient et deux entiers naturels non nuls. On rappelle que, dans la partie I, on a introduit la constante :

4.27. On se donne deux réels distincts et et on pose :

Soient et deux polynômes non nuls. Montrer qu'il existe des polynômes et vérifiant les propriétés suivantes:

4.28. En déduire que la quantité ne dépend pas du segment .

Dans la suite de cette partie, on choisit et on note à la place de . On dit qu'une paire de polynômes est extrémale si et sont unitaires et :

On dit qu'une paire extrémale ( ) est bonne si et sont de degrés respectifs et , et si :

On dit qu'une paire extrémale ( ) est très bonne si elle est bonne et si toutes les racines complexes de et sont contenues dans .

On rappelle que, d'après la partie I, les paires extrémales existent (question 1.7) et que 1 (question 1.5). On peut donc fixer dans la suite une paire extrémale ( ).
4.29. Soit un segment contenu dans tel que et . Montrer que:

4.30. Déduire des questions 4.27 et 4.29 qu'il existe une paire extrémale ( ) telle que :

4.31. Soient et les degrés respectifs de et . On pose et . Montrer que ( ) est une bonne paire extrémale.
4.32. Soit une racine de et soit tel que :

En posant:

montrer que ( ) est une bonne paire extrémale.
4.33. Déduire de la question précédente qu'il existe un polynôme dont toutes les racines sont dans et tel que le couple ( ) forme une bonne paire extrémale.
4.34. Montrer qu'il existe un polynôme dont toutes les racines sont dans et tel que le couple ( ) forme une bonne paire extrémale.
Pour ce faire, étant donné une racine de qui n'est pas dans , on pourra introduire le polynôme :

puis on pourra s'inspirer de la méthode utilisée dans les deux questions précédentes.
4.35. Expliquer brièvement pourquoi il existe un polynôme tel que le couple ( ) forme une très bonne paire extrémale.

Dans la suite de cette partie, on fixe une très bonne paire extrémale quelconque . Une telle paire existe bien d'après la question 4.35. On pose et on note les racines de comptées avec multiplicité.
4.36. Montrer que:

4.37. Vérifier que, pour tout , on a .
4.38. En procédant par l'absurde, montrer que .

Pour ce faire, on pourra choisir un réel , introduire le segment et encadrer la quantité :

grâce à la question 4.37.

On admet dans la suite que la méthode mise en place dans la question précédente permet également de montrer que .
4.39. On se donne un entier et on pose: