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X ENS Mathématiques PC 2018

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Algèbre linéaireProbabilités finies, discrètes et dénombrementFonctions (limites, continuité, dérivabilité, intégration)
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Banque
X-ENS
Année
2018
Filière
PC
Matière
Maths
X-ENS PCX-ENS 2018PC MathsMaths 2018
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COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES - (XEULC)

(Durée : 4 heures)
L'utilisation de calculatrices n'est pas autorisée pour cette épreuve.
Toute affirmation doit être clairement et complètement justifiée.
Ce sujet s'intéresse aux matrices carrées de taille dont tous les coefficients sont égaux à 1 ou à -1 , et en particulier à la différence maximale entre le nombre de 1 et le nombre de -1 que l'on peut obtenir, si l'on s'autorise à multiplier certaines lignes et colonnes d'une telle matrice par -1 .
La partie I s'intéresse à quelques cas particuliers. La partie II montre que pour certaines matrices, cette différence maximale est beaucoup plus petite que . La partie III propose au contraire un minorant à cette différence maximale. La partie IV propose une démonstration de la formule de Stirling utilisée dans la partie III, et rappelée ci-dessous. Enfin, la partie V s'intéresse à la différence minimale entre le nombre de 1 et le nombre de -1 .
Les quatre premières parties sont largement indépendantes.

Rappels

La formule de Stirling énonce un équivalent à , à savoir
On admet par ailleurs la valeur de l'intégrale de Gauss

Notations

Pour et entiers strictement positifs, on notera l'espace vectoriel des matrices réelles à lignes et colonnes. On notera également l'espace vectoriel des
matrices carrées de taille . On notera la transposée d'une matrice . On identifiera l'espace vectoriel à l'espace vectoriel des matrices colonnes à coordonnées. En particulier, l'espace vectoriel des nombres réels est identifié à .
On étend les notations précédentes aux parties de : si est une partie de , on notera par exemple le sous-ensemble de constituée des matrices dont tous les coefficients sont à valeurs dans . Le sujet s'intéressera tout particulièrement à , l'ensemble des matrices carrées de taille dont tous les coefficients sont égaux à 1 ou à -1 . Si , on notera
Pour , on notera également
Dans tout le sujet, ( ) désigne un espace probabilisé sur lequel seront définies les différentes variables aléatoires intervenant dans les parties II et III. On admettra que toutes les variables aléatoires introduites peuvent bien être construites sur cet espace. On notera la probabilité d'un événement , et l'espérance d'une variable aléatoire sur à valeurs réelles.

Partie I

  1. Quel est le cardinal de ? Cet ensemble est-il un sous espace vectoriel de
  2. Montrer que pour toute matrice dans , l'ensemble est inclus dans . Montrer que l'inclusion est stricte (on pourra penser à un argument de parité), et montrer que est un ensemble symétrique, au sens où un entier est dans si et seulement si est dans .
  3. Soit et dans . On suppose qu'il existe des matrices diagonales et ne contenant que des 1 et des -1 sur la diagonale, telles que . Montrer que .
  4. Dans cette question seulement, on suppose , et on note
Calculer et , et en déduire pour tout .
5. Soit . Montrer que les affirmations suivantes sont équivalentes :
(a) .
(b) Il existe et dans tels que .
(c) est une matrice de rang 1 .
6. En déduire la proportion, parmi les matrices de , des matrices qui vérifient .

Partie II

Soit un entier strictement positif et une suite de variables aléatoires à valeurs dans , indépendantes et de loi uniforme. On note également
  1. Soit la fonction définie par . Établir que
  1. Soit . Montrer que pour tout , on a l'inégalité
  1. En déduire l'inégalité de Hoeffding pour : pour tout , on a
On introduit maintenant une variable aléatoire uniforme . Pour , on note les coefficients de la matrice .
4. Soient et deux vecteurs quelconques dans . Montrer que est une famille de variables aléatoires à valeurs dans , indépendantes et de loi uniforme.
5. Montrer que pour tout , on a
  1. On rappelle la notation . Montrer que pour tout , on a
Indication : on pourra commencer par montrer que pour tout , il existe une matrice dans telle que

Partie III

Dans cette partie, on établit un minorant non trivial pour .
  1. Pour et , on note
Montrer que la fonction peut se réécrire
  1. On introduit maintenant une variable aléatoire uniforme . Pour , on note les coordonnées de . Montrer que pour tout , on a
où désigne le coefficient binomial. En déduire
  1. (a) Montrer que pour , on a
(b) En déduire que pour toute ,
où désigne la partie entière de .
4. (a) Montrer que
(b) Montrer ensuite, à l'aide de la formule de Stirling rappelée en préambule, que ce minorant est équivalent à quand tend vers l'infini, pour des constantes et que l'on explicitera. Comparer au majorant de obtenu à la question 6 de la partie II.

Partie IV

Dans cette partie, on établit la formule de Stirling à l'aide d'une étude d'intégrales.
  1. Pour , on pose
Déterminer par récurrence pour tout .
2. Montrer que pour , on a
  1. Soit l'ouvert de défini par
et soit la fonction définie sur par
(a) Montrer que pour , on a
(b) Pour , montrer que l'on a
Pour cela, on pourra commencer par écrire sous la forme pour une certaine fonction que l'on étudiera.
4. Déduire des questions précédentes la formule de Stirling.

Partie V

Dans cette dernière partie, on fixe et on note
  1. Pour , montrer que l'on a
et en déduire .
2. En s'inspirant de la question précédente et des méthodes développées dans les parties II et III, montrer que l'on a également
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