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X ENS Mathématiques PC 2016

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Fonctions (limites, continuité, dérivabilité, intégration)Topologie/EVNCalcul différentiel et fonctions à plusieurs variablesProbabilités finies, discrètes et dénombrementAlgèbre linéaire
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Banque
X-ENS
Année
2016
Filière
PC
Matière
Maths
X-ENS PCX-ENS 2016PC MathsMaths 2016
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COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES - (XEULC)

(Durée : 4 heures)
L'utilisation des calculatrices n'est pas autorisée pour cette épreuve.
Toute affirmation doit être clairement et complètement justifiée.
Les parties I, II et III sont assez largement indépendantes. En particulier la partie II peut être traitée indépendamment de la partie I en admettant les trois premières questions et la partie III (exceptée la dernière question) indépendamment de la partie II. Il est cependant vivement conseillé de suivre la progression naturelle du problème.

Notations

Dans le problème, pour tous entiers positifs non nuls et désignera les matrices à coefficients réels de taille . Un vecteur sera considéré comme un vecteur colonne et désignera le vecteur ligne obtenu par transposition. De même, pour , désignera la transposée de .
On note la fonction de dans définie par
Soit un entier. On note l'ensemble des vecteurs tels que et pour tout . On remarquera que peut être interprété comme une loi de probabilité sur . On note également la fonction définie sur par

Partie I

  1. Vérifier que est de classe sur et sur . Donner la limite de la dérivée de lorsque tend vers 0 dans .
  2. Montrer que est une partie fermée, bornée et convexe de .
  3. Montrer que est positive, continue sur et calculer la valeur de lorsque pour tout (loi uniforme sur ).
  4. (a) Soient et dans tels que . Montrer qu'il existe tel que pour tout tel que .
    (b) En déduire que atteint son maximum sur en un unique point que l'on déterminera.
  5. On note l'ensemble des suites de réels telles que pour tout et . On note la fonction sur définie par à valeurs dans .
    (a) On considère et pour . Calculer et étudier ses variations en fonction de .
    (b) Montrer qu'il existe telle que . (Ind : On pourra utiliser sans démonstration que la série de terme général pour converge si et seulement si ).
  6. Soit un entier strictement positif. On considère une famille de variables aléatoires à valeurs dans , deux à deux indépendantes et de même loi, définies sur un espace probabilisé . On suppose de plus que et que pour tout . Montrer que pour tout , on a tend vers 0 lorsque tend vers l'infini.

Partie II

Soient et définie . On note
la borne supérieure de sur et l'ensemble des de pour lesquels la borne supérieure est atteinte.
7. Montrer que est non vide.
8. Soit .
(a) On suppose que et . Montrer alors qu'il existe dans tel que (on pourra chercher proche de ).
(b) En déduire que si , alors pour tout .
9. Soit . On suppose maintenant que pour tout . On note .
(a) Vérifier que est un sous-espace vectoriel de dont on donnera la dimension. Identifier l'orthogonal de pour le produit scalaire canonique sur .
(b) Soient et définie par . Montrer qu'il existe tel que pour tout . Calculer la dérivée de en 0 .
(c) On suppose de plus que . Montrer que pour tout , on a . En déduire qu'il existe , tel que pour tout .
10. Identifier . Montrer que .
On considère maintenant la fonction définie par
11. Montrer que est dérivable et calculer sa dérivée . Montrer de plus que pour tout , il existe tel que .
12. Etudier les limites de en 0 et en .

Partie III

Soient un espace probabilisé et une variable aléatoire de loi . On suppose que l'on dispose d'une famille finie de fonctions sur à valeurs dans et de la valeur de l'espérance de pour tout .
On note
et on remarque que et que si alors pour toute variable aléatoire de loi , on a .
On cherche dans cette partie à déterminer les probabilités de sur lesquelles atteint son maximum.
Soient définie par pour et . On note la matrice carrée de taille définie pour tous par
On note la matrice augmentée obtenue en ajoutant une colonne de 1 à droite de .
13. Vérifier que si est une variable aléatoire de loi , alors puis que est une matrice symétrique telle que pour tout .
14. Soit tel que . On suppose que pour tout .
(a) Montrer qu'il existe , que l'on précisera, tel que pour tout , on a .
(b) Montrer que si alors .
On note pour tout et
où . Enfin, on considère la fonction définie par
  1. Montrer que est de classe et calculer son gradient.
  2. Montrer que si est un point critique de (c'est-à-dire en lequel le gradient de s'annule) alors et .
  3. Montrer que est de clase et que pour tous entiers on a
où .
On suppose dorénavant que .
18. On s'intéresse dans cette question au nombre de points en lesquels la fonction atteint son minimum.
(a) Montrer que si et sont deux points distincts de tels que admet un point critique en , alors la dérivée de est strictement croissante sur et s'annulle en .
(b) En déduire qu'il existe au plus un point critique pour et conclure sur le nombre de points en lesquels atteint son minimum.
19. On suppose que la fonction a un minimum global atteint en .
(a) Montrer que puis que est la valeur maximale de sur .
(b) Montrer que est l'unique point de en lequel atteint son maximum.
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