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X ENS Mathématiques PC 2013

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RéductionAlgèbre linéaireSéries et familles sommablesAlgèbre bilinéaire et espaces euclidiensTopologie/EVN
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X-ENS
Année
2013
Filière
PC
Matière
Maths
X-ENS PCX-ENS 2013PC MathsMaths 2013
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COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES (XEULC)

(Durée : 4 heures)
L'utilisation des calculatrices n'est pas autorisée pour cette épreuve.
Dans ce problème, est un entier et désigne l'espace vectoriel des matrices de taille à coefficients réels. La transposée d'une matrice est notée . Le sous-espace vectoriel des matrices symétriques est noté . Enfin, le groupe orthogonal est noté . On utilisera la notation de Kronecker
On munit l'espace de la norme euclidienne
où les sont les coefficients de . On pourra utiliser la formule .
Si et si sont des entiers entre 1 et , on désigne par la matrice dont les coefficients sont donnés, pour , par
Par exemple,
Soit une suite quelconque de matrices dans . On dit que converge vers si et
Il revient au même de dire que pour tout , la suite des coefficients de converge vers , le coefficient de correspondant.

1 Préliminaires

  1. On suppose dans cette question que . Quelle interprétation géométrique peut-on donner de ?
  2. Calculer le produit . Quelle propriété de reconnaît-on ?
  3. On se donne et . Vérifier que est symétrique et qu'elle est semblable à .
  4. Soit et . Montrer que .
  5. On se donne quatre nombres réels tels que . Étudier les variations de la fonction ; montrer qu'elle est à valeurs positives. Un raisonnement étayé par une représentation graphique sera le bienvenu.

2 Conjugaison par une matrice de rotation

On se donne une matrice , un angle et des entiers tels que . On définit et on note ses coefficients.
6. Montrer que .
7. Exprimer les coefficients de en fonction de ceux de .
8. On cherche un angle pour lequel on ait .
(a) Montrer que si et seulement si satisfait l'équation
(b) Montrer que cette équation admet une solution et une autre . Quelle est la relation entre les angles et qui correspondent à ces racines ?
(c) Dans toute la suite, on choisit l'une des deux racines de l'équation (1). On a donc . Un choix plus précis sera fait à partir de la question 12.
Vérifier que ; établir une formule analogue pour .
(d) On décompose sous la forme avec diagonale et à diagonale nulle. On décompose de même . Calculer en fonction de et de .
(e) En justifiant que , en déduire une expression de au moyen de et de .
9. Montrer que les coefficients de s'expriment uniquement en fonction de ceux de et de la racine ( ou ) qu'on a choisie.
10. On suppose dans cette question que est le coefficient de plus grande valeur absolue de .
(a) Montrer que où est une constante que l'on explicitera.
(b) Si on choisit la racine , montrer en outre que .
11. En calculant , montrer que
  1. Dorénavant, et jusqu'à la fin du problème, on choisit la racine de (1) et donc l'angle , mentionnés à la Question 8b.
    (a) Montrer que et sont du même signe que .
    (b) Si , montrer que
  1. On définit
Montrer que

3 Algorithme de Jacobi incomplet

Dans l'algorithme de Jacobi, on part d'une matrice et on construit une suite de matrices symétriques , dont les coefficients sont notés , de la façon suivante :
  • On pose .
  • Lorsque est connue, on choisit un couple avec .
  • On applique alors les calculs de la Partie 2 à la matrice et au couple : on forme la matrice étudiée dans cette partie, et on l'appelle .
À ce stade, on ne précise pas la manière de choisir ; c'est pourquoi l'algorithme est dit incomplet.
14. On définit
Vérifier que . En déduire que la série est convergente.
15. On décompose sous la forme où est diagonale et est à diagonale nulle. Montrer que la suite est convergente. On notera sa limite.

4 Convergence et polynôme caractéristique

Soit une suite dans . On suppose que pour tout , la matrice est semblable à .
16. Montrer que est semblable à .
17. On suppose de plus que cette suite converge vers une matrice diagonale . Si désigne le polynôme caractéristique de , montrer que les coefficients de convergent vers ceux du polynôme caractéristique de quand .
En déduire que le polynôme caractéristique de est égal à celui de .
18. Finalement, montrer que les termes diagonaux de sont les valeurs propres de . Que peut-on dire de leurs multiplicités ?

5 Algorithme de Jacobi ; version optimale

Dans la version optimale de l'algorithme de Jacobi, on choisit pour chaque un couple ( ) de sorte que la valeur absolue du coefficient soit maximale précisément quand . Autrement dit,
  1. Montrer que pour , la suite converge vers la matrice diagonale .
  2. Montrer alors que les coefficients diagonaux de sont les valeurs propres de .
  3. Soit . Montrer que
  1. En vous appuyant sur les réponses aux questions précédentes, donnez votre avis quant à la rapidité de la convergence des vers les valeurs propres de .
Les propriétés de la méthode de Jacobi sont aujourd'hui encore mal comprises. Dans sa version optimale, et sous l'hypothèse que les valeurs propres de sont simples, elle converge au moins quadratiquement, et probablement encore plus vite. L'estimation de la question 21 est donc grossière. Elle est d'ailleurs satisfaite "en moyenne" lorsqu'on choisit ( ) au hasard, ce qui entraine la convergence "presque surement".
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