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X ENS Mathématiques B MP 2021

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Probabilités finies, discrètes et dénombrementAlgèbre généraleFonctions (limites, continuité, dérivabilité, intégration)Polynômes et fractionsSéries et familles sommables
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Banque
X-ENS
Année
2021
Filière
MP
Matière
Maths
X-ENS MPX-ENS 2021MP MathsMaths 2021
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ECOLE POLYTECHNIQUE

CONCOURS D'ADMI SSI ON 2021

MARDI 13 AVRIL 2021
08h00-12h00
FILIERE MP - Epreuve
MATHEMATI QUES B (X)
Durée : 4 heures
L'utilisation des calculatrices n'est pas
autorisée pour cette épreuve
Dans tout le sujet, désigne un espace probabilisé sur lequel seront définies les différentes variables aléatoires. On admet que toutes les variables aléatoires introduites peuvent bien être construites sur cet espace. On note la probabilité d'un événement et l'espérance d'une variable aléatoire à valeurs réelles.
On rappelle que si , la série converge et on note sa limite.
On dit qu'une variable aléatoire à valeurs dans suit la loi zeta de paramètre si, pour tout ,
Si et est un nombre premier, on note la valuation de en . On note également la suite croissante des nombres premiers.
Si , on pose, et . On pourra utiliser sans justification que, pour et dans , on a .
Le sujet comporte quatre parties, et les parties II et III sont indépendantes de la partie I.

Partie I

Soit un nombre réel et soit une variable aléatoire à valeurs dans suivant la loi zeta de paramètre . Si , on note l'évènement « divise » et l'évènement complémentaire.
1a. Calculer pour .
1b. Soit une suite d'entiers naturels. Montrer que les évènements
sont mutuellement indépendants.
2a. Soit un entier. Montrer que
2b. En déduire que
3a. Montrer que pour tout , la variable aléatoire suit la loi géométrique de paramètre .
3b. Montrer que, pour dans et , on a
3c. En déduire que les variables aléatoires sont mutuellement indépendantes.
Si , on note, pour ,
On pose .
4a. Montrer que si et sont deux entiers naturels non nuls et premiers entre eux, on a .
4b. Montrer que, pour tout , et tout nombre premier , on a
  1. Soit une suite de fonctions de dans telle que, pour tout , la suite converge vers un réel quand tend vers . On suppose qu'il existe une fonction telle que est d'espérance finie et telle que pour tous et dans . Justifier que est d'espérance finie et montrer que
6a. On note le nombre de diviseurs de . Montrer que la serie converge et que sa somme vaut .
6b. En déduire que la série converge.
7a. Montrer que la suite de fonctions de dans converge simplement vers la fonction identité.
7b. Montrer que .
8a. Montrer que si est un nombre premier tel que , on a
8b. Calculer si est un nombre premier vérifiant .
8c. En déduire
9a. Montrer que, si est un nombre premier,
9b. Montrer que
9c. En déduire que la série
est convergente et que sa somme vaut .

Partie II

10a. Soit . Expliciter un polynôme tel que, pour tout ,
Indication : on pourra développer .
10b. Déterminer les racines de et en déduire que, pour tout ,
10c. En déduire que, pour tout ,
Soit . Soit tel que . On pose, pour tel que :
et
11a. Montrer que les suites, indexées par et sont convergentes dans .
On note la limite de .
11b. Montrer que, pour tel que , on a
et en déduire que .
11c. En déduire que, pour tout ,

Partie III

On rappelle que la suite converge. On note sa limite. Soit . Pour , on pose
  1. Montrer que la suite de fonctions converge simplement sur vers une fonction de vers .
  2. Montrer que, pour tout , on a .
14a. Montrer que la fonction est de classe et que, pour tout ,
14b. Montrer que .
Soit une fonction de classe telle que la fonction est convexe et vérifie et pour tout .
15a. Montrer que la fonction
est 1 -périodique et convexe.
15b. En déduire que .
16. Montrer que pour tous et :
Indication : on pourra poser, pour .
17. Montrer que pour tout :

Partie IV

18a. Montrer que pour tout :
18b. En déduire que, pour :
18c. En déduire que la fonction :
est développable en série entière et que, pour tout ,
où, pour tout .
19a. Montrer que, pour ,
et en déduire les valeurs de et .
19b. Calculer lorsque est une variable aléatoire suivant la loi zeta de paramètre 3 puis de paramètre 5 .
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