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X ENS Mathématiques B MP 2020

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Probabilités finies, discrètes et dénombrementIntégrales généraliséesIntégrales à paramètresFonctions (limites, continuité, dérivabilité, intégration)
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X-ENS
Année
2020
Filière
MP
Matière
Maths
X-ENS MPX-ENS 2020MP MathsMaths 2020
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ECOLE POLYTECHNIQUE

CONCOURS D'ADMISSION 2020

MARDI 21 AVRIL 2020-8h00-12h00 FILIERE MP - Epreuve

MATHEMATIQUES B
(X)

Les trois parties sont indépendantes.

Notations

Dans tout le sujet, désigne un espace probabilisé sur lequel seront définies les différentes variables aléatoires. On notera la probabilité d'un événement et l'espérance d'une variable aléatoire sur ( ) à valeurs réelles.
On pourra utiliser sans démonstration le résultat suivant :
Si sont des variables aléatoires réelles discrètes mutuellement indépendantes et intégrables, alors
On note log la fonction logarithme népérien. Par convention, on pose .

Première partie

Soit un entier naturel, et soient ( ) des variables aléatoires réelles discrètes mutuellement indépendantes telles que, pour tout ,
On définit
ainsi que, pour tout ,
  1. Soit une variable aléatoire réelle discrète telle que est d'espérance finie pour tout . Montrer que pour tout et ,
  1. Montrer que .
  2. Montrer que pour tout , on a
Pour chaque , on pose
ainsi que
  1. Montrer que la fonction est strictement croissante sur , et que pour tout , il existe un unique tel que .
5a. Pour et , montrer que
5b. En déduire que, pour et ,
Pour tous et , on note la variable aléatoire définie par
  1. Montrer que
  1. Montrer que
8a. En déduire, pour chaque et , l'existence d'une suite qui tend vers 0 quand tend vers l'infini et telle que
8b. Conclure que pour tout ,
8c. La formule précédente est-elle encore valide pour ?

Deuxième partie

On admet l'identité
Soient deux réels et une fonction infiniment dérivable. Appelons (H) l'hypothèse suivante : il existe un unique point où atteint son maximum, on a , et .
9. Montrer que sous l'hypothèse , on a .
10. Sous l'hypothèse (H), montrer que pour tout tel que , on a l'équivalent, quand ,
  1. Sous l'hypothèse (H), montrer l'équivalent, quand ,
12a. Montrer que pour tout entier , on a
12b. En utilisant les résultats précédents, retrouver la formule de Stirling donnant un équivalent asymptotique de .

Troisième partie

  1. Montrer que
  1. Montrer que pour tout ,
  1. Montrer que les limites
existent et sont finies.
On admet les identités :
  1. Montrer qu'il existe des nombres réels tels que, pour , on a
On admettra qu'il existe des nombres réels tels que, pour , on a
À partir de maintenant et jusqu'à la fin de l'énoncé, désigne une fonction infiniment dérivable de dans . On suppose qu'il existe un unique point où s'annule. On suppose également que . On se donne également une fonction infiniment dérivable.
17. Montrer qu'on a, pour ,
Pour tout , on définit
18a. Montrer que la fonction définit une bijection de sur .
18b. Montrer que l'application est dérivable en à droite, et que . On admet que la bijection
admet une application réciproque qui est infiniment dérivable.
19. Montrer que, pour ,
  1. On suppose que . Montrer que, pour ,
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