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X ENS Mathématiques B MP 2018
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Topologie/EVNPolynômes et fractionsNombres complexes et trigonométries, calculs, outilsFonctions (limites, continuité, dérivabilité, intégration)
ÉCOLE POLYTECHNIQUE
COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES B
L'utilisation des calculatrices n'est pas autorisée pour cette épreuve
Samedi 5 mai 2018, 9 h00-13h00
Pour des raisons qui apparaîtront dans la Troisième Partie, on utilise deux entiers naturels distincts
On désigne par
On définit l'ensemble
L'objet du problème est l'étude de sa borne inférieure
Questions préliminaires
- (a) Vérifier que
est une partie convexe de .
(b) Montrer que l'expression
définit une norme sur
(c) Montrer que
2. (a) Montrer que la borne inférieure de
(c) Montrer que
2. (a) Montrer que la borne inférieure de
Dans la suite, on notera
(b) Montrer que
(c) Vérifier que
(b) Montrer que
(c) Vérifier que
Première Partie
On munit
et de la norme associée
(on ne demande pas de vérifier qu'il s'agit bien d'un produit scalaire et d'une norme).
Pour
Pour
Par convention,
3. (a) Quel est le degré de
(b) Montrer que
(c) Montrer que
4. Au moyen de l'intégration par parties, montrer que la famille
5. On note
3. (a) Quel est le degré de
(b) Montrer que
(c) Montrer que
4. Au moyen de l'intégration par parties, montrer que la famille
5. On note
(a) Établir une relation entre
(b) Trouver une relation entre
(c) En déduire la valeur de
6. (a) Montrer que la famille
(b) En déduire que la famille
(b) Trouver une relation entre
(c) En déduire la valeur de
6. (a) Montrer que la famille
(b) En déduire que la famille
Deuxième Partie
On choisit un polynôme pair dans
7. Montrer qu'il existe des nombres entiers
7. Montrer qu'il existe des nombres entiers
- On décide de remplacer tous les
par des zéros. On remplace donc les facteurs correspondants de ,
par des facteurs
Montrer que
9. De même, dans la liste des
Montrer que
9. De même, dans la liste des
par des facteurs
Montrer que
10. Soit
(a) Montrer que l'équation
Montrer que
10. Soit
(a) Montrer que l'équation
définit un cercle dans le plan complexe, qui passe par
(b) Montrer l'inégalité
(c) Montrer que l'équation
définit un cercle dans le plan complexe, qui passe par 1 et par -1 .
En déduire que, pour tout
En déduire que, pour tout
- Conclure que
a toutes ses racines dans l'intervalle .
Troisième Partie
On note
12. Montrer que
13. Montrer que
14. On suppose dans cette question que
(a) Montrer que
12. Montrer que
13. Montrer que
14. On suppose dans cette question que
(a) Montrer que
(b) En déduire qu'il existe un nombre réel
(c) Exprimer
(c) Exprimer
(d) Établir dans ce cas la formule
- On suppose maintenant que
est impair. Exprimer encore en fonction des . - Discuter, en fonction de la parité de
, la valeur de . On en donnera la valeur explicite. - Donner la formule explicite de
, en fonction des polynômes .