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X ENS Mathématiques B MP 2014

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Algèbre généraleAlgèbre linéaireEquations différentiellesSéries et familles sommablesTopologie/EVN
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X-ENS
Année
2014
Filière
MP
Matière
Maths
X-ENS MPX-ENS 2014MP MathsMaths 2014
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COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES - B - (X)

(Durée : 4 heures)

L'utilisation des calculatrices n'est pas autorisée pour cette épreuve.
Toute affirmation doit être justifiée. On prendra soin à la clarté et à la précision de la rédaction.

Notations

Soit un entier strictement positif. On note l'espace vectoriel des matrices carrées réelles de taille et désigne la matrice identité. Le produit de deux matrices et de est noté ou simplement . On appelle commutateur de et la matrice
On rappelle que l'exponentielle d'une matrice carrée est définie par
On munit d'une norme d'algèbre , c'est-à-dire que pour toutes matrices de ,
On note le groupe linéaire des matrices de qui sont inversibles, et le sous-groupe de formé des matrices de déterminant 1 .
La première et la troisième parties sont consacrées à l'étude de matrices carrées de taille . La deuxième partie est largement indépendante des autres parties.

Première partie

On considère l'ensemble des matrices carrées de taille 3 triangulaires supérieures strictes :
ù
On définit .
  1. Calculer l'exponentielle de la matrice .
2a. Montrer que l'on définit une loi de groupe sur en posant pour :
On explicitera l'inverse de .
2b. Déterminer les matrices qui commutent avec tous les éléments de pour la loi *. est-il commutatif?
3. Montrer que pour toutes matrices , on a :
  1. Soient et deux éléments de . Montrer que
  1. Montrer que muni du produit usuel des matrices est un sous-groupe de et que
est un isomorphisme de groupes.

Deuxième partie

On considère dans cette partie deux matrices et de .
Dans les questions 6 et 7 , on suppose de plus que et commutent avec .
6a. Montrer que .
6b. Déterminer une équation différentielle vérifiée par .
6c. En déduire la formule :
  1. On note .
7a. Si , montrer que commute avec et .
7b. Soit . Montrer que ( ) est un groupe et que l'application
est un morphisme de groupes.
Dans toute la suite de cette partie, et sont à nouveau deux matrices quelconques de .
8. Soit une suite de qui converge vers . Elle est donc bornée : soit tel que pour tout entier .
8a. Soit . Justifier que quand et que si (et ),
En déduire que
8b. Montrer que pour tous entiers et ,
8c. Conclure que quand .
9a. Soit telle que . Montrer qu'il existe une constante indépendante de telle que
9b. Montrer qu'il existe une constante , et pour tout une matrice , tels que
  1. Déduire de ce qui précède que

Troisième partie

Soit un réel strictement positif. On note l'ensemble constitué des couples ( ) de fonctions continues sur à valeurs réelles.
Un chemin de Carnot contrôlé par est une application de classe solution de l'équation différentielle matricielle :
où les matrices et ont été introduites dans la première partie.
11a. Pour tout , justifier l'existence d'un unique chemin de Carnot controlé par .
11b. Montrer que vérifie
et calculer explicitement, en fonction de et les fonctions et telles que
  1. Pour tout et , on définit les contrôles
et on note le chemin de Carnot controlé par ( ).
12a. On suppose . Calculer et et vérifier que
12b. Calculer de même .
La sphère de Carnot est l'ensemble :
  1. On définit les fonctions et sur par :
Montrer que et se prolongent par continuité sur ; que est alors une bijection continue de sur un ensemble qu'on précisera; et que atteint son maximum en .
14. Montrer que si avec alors . Énoncer et établir une réciproque.
On pourra donner l'allure de la fonction pour et notamment les tangentes en et .
15. Montrer l'existence d'une constante telle que pour tout , on ait
16a. Montrer que pour tout , il existe un unique tel que :
16b. En déduire que pour tout point , il existe un réel positif et des paramètres (dépendants également de ) tels que soit l'extrémité du chemin de Carnot contrôlé par .
16c. Montrer l'existence d'une constante telle que pour tout ,
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