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X ENS Mathématiques B MP 2013

Exposant de Hölder ponctuel d'une fonction continue

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Fonctions (limites, continuité, dérivabilité, intégration)Suites et séries de fonctionsTopologie/EVN
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X-ENS
Année
2013
Filière
MP
Matière
Maths
X-ENS MPX-ENS 2013MP MathsMaths 2013
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ÉCOLE POLYTECHNIQUE

COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES - B - (X)
(Durée : 4 heures)
L'utilisation des calculatrices n'est pas autorisée pour cette épreuve.

Exposant de Hölder ponctuel d'une fonction continue

N désigne l'ensemble des entiers naturels et celui des nombres réels.
On note l'espace vectoriel réel des fonctions continues définies sur l'intervalle compact et à valeurs dans . Cet espace est muni de la norme définie pour tout , par .
On note le sous-espace de formé par les fonctions telles que .
est la fonction définie pour , par , où ln est le logarithme népérien.

Première partie : définition de l'exposant de Hölder ponctuel

Soit . Pour tout , on désigne par le sous-ensemble de formé par les fonctions qui vérifient :
1a. Montrer que est un sous-espace vectoriel de , puis que, pour tous réels et vérifiant , l'on a . Enfin, déterminer .
1b. Soit . Si est dérivable en , montrer que pour tout .
1c. Montrer que pour tout , il existe non dérivable en tel que pour tout .
Pour tout et tout , on pose
Le réel est appelé exposant de Hölder ponctuel de en ; il permet de mesurer finement la régularité locale de au voisinage du point .
2. Soit . Déterminer l'exposant de Hölder ponctuel de en .
Pour tout , on définit la fonction par
3a. Montrer que est croissante, et continue en 0 .
3b. Montrer que pour tous tels que vérifie
3c. En déduire que est continue sur .
4a. Soit . On suppose que la fonction est bornée sur . Pour tout , montrer que .
4b. Soit définie par
Montrer que pour tout , mais que ne tend pas vers 0 quand tend vers 0 .

Deuxième partie : le système de Schauder

On note et ; pour , on désigne par l'ensemble
Pour tout , soit la fonction de , définie pour tout par
La famille des fonctions est appelée le système de Schauder.
On note la partie entière du réel , c'est donc l'unique entier tel que
5a. Montrer que pour tout et tout , il existe un unique entier tel que
On précisera le lien entre et .
5b. Calculer pour tous .
5c. Montrer que pour tout , la fonction est continue, affine sur chaque intervalle de la forme où et .
5d. Prouver que pour tous et , on a
Dans le reste de cette partie est un élément de .
Pour tout , soit la fonction de définie par
où, pour tout , on a posé
  1. Montrer que .
7a. Pour tout , calculer .
7b. Soit une famille de réels indexée . On note , et on suppose que la série est convergente.
Pour tout , soit la fonction définie par
Montrer que la série est uniformément convergente sur vers une fonction noté , qui appartient à et qui vérifie, pour tout .
8a. On suppose de classe . Montrer qu'il existe une constante telle que pour tous .
En déduire que la suite de fonction est uniformément convergente sur lorsque tend vers .
8b. On suppose de classe . Montrer qu'il existe une constante telle que pour tous .
9a. Montrer que pour tout et tout , la fonction est affine sur l'intervalle .
9b. Soit . On suppose que pour tout . Montrer que l'on a aussi que pour tout .
On pourra distinguer les cas suivant la parité de .
9c. En déduire que pour tout et tout .
10a. Déduire de la question 9 que pour tout de .
10b. Soit . Montrer que est un projecteur sur , dont la norme subordonnée (à ) vaut 1 .
11a. Soit . Montrer que si , alors .
11b. Montrer que si , alors il existe un réel , tel que pour tout , on a,

Troisième partie : minoration de l'exposant de Hölder ponctuel

L'objectif de cette partie est d'établir une forme de réciproque du résultat de la question 11b. Dans toute cette partie, on désigne par une fonction vérifiant la propriété suivante:
il existe et , tels que pour tout ,
Dans tout le reste de cette partie, on fixe les et de la propriété et .
12. Montrer qu'il existe un unique tel que .
13. On rappelle que la notation a été introduite en préambule de la deuxième partie. On pose
Montrer que
14a. Montrer que pour ( est déterminé dans la question 12), on a
14b. En déduire que, en posant ,
  1. Montrer que pour tout . En déduire, en posant ,
Dans la suite du problème, on suppose que et on rappelle que la fonction a été définie à la question 3 .
16. Montrer qu'il existe un unique tel que .
17. Montrer que pour tout , où est déterminé dans la question 16, on a
On pourra utiliser les résultats des questions et .
18a. Montrer que lorsque , on a,
On suppose de plus dans la suite que la fonction vérifie la propriété suivante :
pour tout entier , il existe un réel , tel que pour tout ,
18b. Pour tout entier , on pose . Montrer que
et en déduire
  1. Déduire de ce qui précède que .
On pourra distinguer les cas et .
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