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X ENS Mathématiques B MP 2012

Valeurs d'adhérence de séries entières sur le cercle de convergence

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Séries entières (et Fourier)Fonctions (limites, continuité, dérivabilité, intégration)Nombres complexes et trigonométries, calculs, outils
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X-ENS
Année
2012
Filière
MP
Matière
Maths
X-ENS MPX-ENS 2012MP MathsMaths 2012
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ÉCOLE POLYTECHNIQUE

COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES - B - (X)

(Durée : 4 heures)
L'utilisation des calculatrices n'est pas autorisée pour cette épreuve.

Valeurs d'adhérence de séries entières sur le cercle de convergence

La notation étant réservée (c'est un nombre complexe dont le carré est -1 ) les candidats éviteront de l'utiliser à d'autres fins, par exemple comme indice de suite, de sommation ou de produit.

Première partie : convergence au sens de Césaro

Soit une suite de nombres complexes. On dit qu'elle est -convergente si la suite définie par
est convergente et on appelle alors -limite de la limite de la suite .
  1. Montrer que toute suite convergente est -convergente et donner un exemple de suite -convergente mais non convergente.
  2. Montrer que si la suite est -convergente, alors .
  3. Montrer que pour tout , la suite de terme général est -convergente.
Si est une suite de nombre complexes, on dit que la série est -convergente si la suite des sommes partielles de la série est -convergente et la -limite de la suite des sommes partielles sera appelée -limite de la série.
Soit une série entière de rayon de convergence . On note pour tout ,
  1. Soit un nombre complexe tel que la série soit -convergente. Montrer que .
Si est tel que est -convergente, on note sa -limite. On note l'ensemble des nombres complexes de module pour lesquels la série est -convergente.
5. Pour chacune des séries entières suivantes, déterminer le rayon de convergence, l'ensemble et la valeur de pour tout .
5a. .
5b. .
5c. .

Deuxième partie : un théorème de Kronecker

On rappelle que des nombres réels sont linéairement indépendants sur s'ils forment un système libre de considéré comme -espace vectoriel.
Soit le -espace vectoriel des fonctions continues bornées de dans . Il est muni de la norme définie pour toute fonction par
Si , on désigne par la fonction définie par . Soit le sous-espace de engendré par les fonctions .
6a. Montrer que pour tout , la fonction admet une limite lorsque tend vers qu'on note . Vérifier que est une forme linéaire continue sur .
6b. Montrer que est une base de et que pour tout est la coordonnée de suivant dans la base des .
6c. Montrer que si alors il en est de même de . Dans le cas où est à valeurs réelles positives, établir que .
7. On pose pour tout entier .
7a. Montrer que .
7b. Montrer que pour tout ,
Dans la suite de cette partie, on fixe un entier , des nombres réels linéairement indépendants sur , des nombres réels positifs et des nombres réels .
Pour , on pose et pour tout .
8. Pour tout entier , on pose .
8a. Écrire comme combinaison linéaire de fonctions avec de la forme
En déduire que .
8b. Montrer que .
8c. En déduire que , (on pourra utiliser .
9. Soient des nombres complexes de module 1 et un réel strictement positif. On suppose que . Montrer que si on a et .
Dans la suite on suppose de plus que pour tout et , de sorte que .
10a. Montrer qu'il existe une suite de nombres réels telle que .
10b. Montrer qu'une telle suite vérifie pour tout ,
10c. Posons , avec et . Montrer que , puis que pour tout , on a .
11. Dans cette question, on considère le cas particulier où , pour tout , de sorte que .
11a. Montrer que sur tout intervalle fermé borné de .
11b. En déduire l'existence d'une suite d'entiers relatifs telle que
et pour tout . Que peut-on dire des suites ?
12. Déduire de ce qui précède le théorème suivant.
Théorème de Kronecker. Soient des réels tels que sont linéairement indépendants sur . Soient des réels. Alors il existe une suite d'entiers naturels tels que et pour tout .

Troisième partie : valeurs d'adhérence aux points de -convergence

On rappelle que est une valeur d'adhérence de la suite s'il existe une application strictement croissante telle que .
Les valeurs d'adhérence d'une série sont celles de la suite de ses sommes partielles. Si est une série entière et , on note l'ensemble des valeurs d'adhérence de la série . Dans cette partie, on étudie l'ensemble , pour les exemples de la question 5. Les notations sont celles de la première partie.
13a. On reprend l'exemple 5a. Déterminer , lorsque . Lorsque , montrer que est un cercle de centre dont on déterminera le rayon.
13b. On reprend l'exemple . On suppose que et . Montrer que est réunion de deux cercles de centre dont on déterminera les rayons.
13c. On reprend l'exemple 5c. On suppose que les nombres sont linéairement indépendants sur . Montrer que pour suffisamment petit,
pour des réels que l'on déterminera.
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