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X ENS Mathématiques B MP 2011

Transformation d'Euler et accélération de convergence

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Fonctions (limites, continuité, dérivabilité, intégration)Polynômes et fractionsSéries et familles sommablesIntégrales à paramètresSuites et séries de fonctions

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X-ENS MP X-ENS 2011 MP Maths Maths 2011

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ÉCOLE POLYTECHNIQUE

COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES - B - (X)

(Durée : 4 heures)

L'utilisation des calculatrices n'est pas autorisée pour cette épreuve.

Transformation d'Euler et accélération de la convergence

Dans ce problème,

désigne l'ensemble des réels,

est l'ensemble des réels positifs et

l'ensemble des réels strictement positifs. La notation

désigne l'ensemble des entiers naturels et

l'ensemble des entiers naturels non nuls.

On note

l'espace vectoriel des suites réelles. On note

une suite réelle de terme général

. On considère l'endomorphisme

qui à toute suite

associe la suite de terme général

On pose, pour

dans

. On convient que

et que

Les candidats vérifieront la convergence des séries qu'ils rencontrent, même si cela n'est pas explicitement demandé.

Première partie : suites complètement monotones

Pour tout

, on note

-ième itéré de

défini par

, et par convention,

est l'identité de

On dit qu'une suite

est complètement monotone si pour tous entiers naturels

on a

Soit une fonction sur à valeurs réelles et indéfiniment dérivable. On considère la suite de terme général .

1a. Montrer que pour tout entier

et tout entier

, il existe un réel

dans l'intervalle

tel que

On pourra raisonner par récurrence en considérant la fonction

et la suite de terme général

1b. On considère la suite de terme général

. Montrer que

est complètement monotone.

2a. Démontrer que pour tout

, on a

2b. Soit

. On considère la suite de terme général

. Calculer

pour tous les entiers naturels

et en déduire que

est complètement monotone.

Soit

une fonction continue et positive sur

, non identiquement nulle. Jusqu'à la fin de la première partie, on considère la suite de terme général

3a. Montrer que la série de terme général

converge et que

3b. Montrer que la suite

est complètement monotone.
3c. Démontrer que

3d. En déduire que l'on a

Déduire des questions précédentes que

On pose .

5a. Montrer que

5b. On pose

. Montrer que

Deuxième partie : Transformée d'Euler

Dans cette partie, on se donne une suite

telle que la série de terme général

soit convergente, et l'on note

sa somme. On ne suppose aucune autre propriété particulière de cette suite

. Le but est de démontrer que

On dit que la série

est la transformée d'Euler de la série

.
6a. Montrer que pour tout

, on a

.
6b. Montrer que pour toute suite

de limite nulle, on a

.
7a. Montrer que pour tout

, on a

7b. Montrer que pour tout

, on a

8a. On pose

. Montrer que

8b. Conclure.

Troisième partie : une amélioration de la méthode

Dans cette partie, comme dans la question 3 , on se donne une fonction

continue et positive sur

, non identiquement nulle. On considère la suite de terme général

et on pose

On se donne aussi une suite de polynômes à coefficients réels

telle que pour tout

. Pour tout

, on pose

9a. Montrer que

.
9b. En déduire que

où

.
10. Dans cette question, on choisit comme suite de polynômes

. Donner une majoration explicite de

, en fonction de

.
11. Dans cette question, on choisit comme suite de polynômes

. Donner une majoration explicite de

, en fonction de

12a. Démontrer l'existence et l'unicité d'une suite de polynômes

vérifiant les conditions suivantes : pour tout

, pour tout

12b. Calculer

pour tout

.
12c. Donner une majoration explicite de

Quatrième partie : comparaison des méthodes sur un exemple

Dans cette partie,

, où les

sont les polynômes de la question 12.
13. Donner un équivalent de

et de

. Comparez la vitesse de convergence de

avec celle de

. Donner un équivalent de