MARDI 16 AVRIL 2024
08h00-12h00
FILIERES MP-MPI - Epreuve nº 3

MATHEMATIQUES B (X)

(Durée : 4 heures)
L'utilisation des calculatrices n'est pas autorisée pour cette épreuve.

Le sujet comporte quatre parties. La première partie est indépendante des trois autres.

On note l'ensemble des entiers naturels, l'ensemble des entiers naturels non nuls, l'ensemble des entiers relatifs, l'ensemble des nombres réels et l'ensemble des nombres complexes. On note également l'ensemble des nombres complexes non nuls.
Si désigne un -espace vectoriel et si sont des éléments de , on note le sous-espace vectoriel de engendré par les vecteurs .
Si est un entier et si désigne un -espace vectoriel de dimension finie, on note l'ensemble des fonctions de classe de dans .
Soit un -espace vectoriel normé de dimension finie. Si est un ouvert de et une fonction différentiable, pour tout on note la différentielle de en . On rappelle que est alors un endomorphisme -linéaire de . Si est un endomorphisme -linéaire de , on note sa norme d'opérateur, c'est-à-dire

Pour et un nombre réel positif, on note la boule ouverte de centre et rayon et la boule fermée de centre et rayon .
On note l'application identité de dans .
Si et désignent deux entiers naturels non nuls, on note l'ensemble des matrices à lignes et colonnes à coefficients dans . Si , on note pour et l'ensemble des matrices inversibles de . On identifie également le -espace vectoriel avec le -espace vectoriel des vecteurs colonnes .
Si , on note l'exponentielle de la matrice .

Soit une application continue, périodique de période . On considère l'équation différentielle

1a. Justifier l'existence de deux solutions et dans à (1) telles que :

Justifier que est l'ensemble des solutions de (1) dans .

1b. Montrer que :

(b) Le nombre complexe est solution de l'équation d'inconnue :

(c) L'équation différentielle (1) possède une solution non nulle telle que :

où est une fonction -périodique.
4. Soient les racines complexes de l'équation d'inconnue :

4a. Montrer que si et si est un nombre complexe tel que , alors pour toute solution de (1), il existe deux fonctions -périodiques et , ainsi que deux nombres complexes et tels que

4b. Supposons que . Montrer que et que l'équation (1) admet une solution périodique dans .

Soit et soit un ouvert de contenant . Soit une application de classe sur telle que .

5a. Soient un ouvert convexe de et une fonction de classe de dans . On suppose qu'il existe un réel tel que pour tout . Montrer que pour tous et dans , on a .

5b. Montrer qu'il existe un nombre réel tel que et

Nous fixons désormais un réel vérifiant ces conditions dont la valeur sera utilisée dans la suite des questions de cette deuxième partie.

5c. Montrer que pour tout , l'application linéaire est injective.
6. Soit tel que .

6a. Montrer que l'application

admet un minimum atteint en un point de .

6b. Montrer que .
7. On note et .

7a. Justifier que et sont des ouverts de .

7b. Montrer que

est une bijection continue de sur dont la réciproque est une fonction continue sur .

Soit . On note l'ensemble des éléments de de la forme où est un polynôme. On note

8a. Justifier que est un sous-groupe abélien de .
8b. Montrer que .
9. Montrer que .
10. Pour , on définit l'application

10a. Montrer que l'application

est injective.

10b. Soient et deux éléments de . Montrer qu'il existe tel que

10c. En déduire que est connexe par arcs.
11a. Montrer qu'il existe un ouvert de contenant 0 et un ouvert de contenant la matrice identité tels que la fonction exponentielle induit une bijection continue de sur dont la réciproque est une fonction continue sur .

11b. En déduire que est un ouvert de .
12. Montrer que est un fermé de .
13. On veut montrer que . On suppose que et on fixe telles que et .

13a. Montrer qu'il existe une application continue de dans telle que et .

13b. Conclure.
14. Conclure que .

Soient un nombre réel et un entier naturel. Soit

une application continue sur et -périodique. On considère le système différentiel

où est une fonction de dans , de classe sur .
15. Montrer qu'il existe et une solution non nulle de (2) tels que

Soit l'espace des solutions dans de (2). Soit une base de . Pour , on note la matrice dont les colonnes sont . On dispose ainsi d'une application de dans .

16a. Montrer que pour tout nombre réel et .
16b. Montrer que la matrice est indépendante de .

16c. En déduire qu'il existe telle que:

16d. En déduire qu'il existe une application continue sur et périodique telle que

(On appelle cette identité la forme normale de la matrice ).
On admet qu'il existe deux matrices et de telles que est diagonalisable, est nilpotente et

Il existe donc une matrice et une matrice diagonale telles que .
17a. Pour , on note les colonnes de la matrice . Montrer que est une base de l'espace .

17b. Soient les nombres complexes tels que . Pour tous et , on note la -ième colonne de la matrice . Montrer que pour tout , on a

et vérifier que les applications sont continues sur et -périodiques.
17c. En déduire que si les parties réelles des pour sont strictement négatives et si est une solution quelconque de (2), alors

18a. Montrer que si a une valeur propre de la forme avec et , alors (2) a une solution -périodique non nulle.

18b. On suppose qu'il existe tel que (2) possède une solution -périodique non nulle. Montrer que possède une valeur propre qui est une racine -ième de l'unité.
19. Dans cette question, on suppose que (2) possède une solution -périodique avec .
Montrer que pour tous et , on a

On pourra utiliser sans démonstration le fait que si est un sous-groupe de ( ) qui n'est pas de la forme a pour , alors est dense dans .
20. On suppose dans cette question qu'il n'existe pas de sous-espace vectoriel , différent de et , tel que, pour tout est stable par . Donner une condition nécessaire et suffisante sur et sur pour que (2) ait au moins une solution périodique non nulle.
21. Soit le système différentiel

où est une fonction continue sur et -périodique.
On suppose que 1 n'est pas valeur propre de . Montrer que (3) possède une unique solution -périodique.
22. Résoudre le système différentiel

et déterminer sa forme normale (voir la question .