J-0
00m
00j
00h
00min
00s

Version interactive avec LaTeX compilé

Télécharger PDF

X ENS Mathématiques B MP MPI 2023

Notez ce sujet en cliquant sur l'étoile
0.0(0 votes)
Algèbre linéairePolynômes et fractionsSéries entières (et Fourier)RéductionTopologie/EVN
Logo x-ens
🔗 Explorer
Banque
X-ENS
Année
2023
Filière
MP/MPI
Matière
Maths
X-ENS MP/MPIX-ENS 2023MP/MPI MathsMaths 2023
2025_08_29_eb82ee7e652b951fd7d8g

ECOLE POLYTECHNIQUE

CONCOURS D'ADMISSION 2023

MARDI 18 AVRIL 2023
08h00-12h00
FILIERE MP-MPI - Epreuve
MATHEMATIQUES B (X)
Durée : 4 heures
L'utilisation des calculatrices n'est pas autorisée pour
cette épreuve

COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES

(Durée : 4 heures)
L'utilisation des calculatrices n'est pas autorisée pour cette épreuve.

Notations

On note l'ensemble des nombres réels.
On note l'ensemble des nombres réels strictement positifs.
Étant donné , on pose .
On note le -espace vectoriel des fonctions qui sont développables en série entière sur l'intervalle .
Par définition, pour toute fonction , on a une écriture de la forme ( ) valable pour tout . On rappelle que les sont uniquement déterminés par . On rappelle également que, pour tout réel tel que , la série est convergente et on pose :

Matrices

Si et sont deux entiers, on note l'ensemble des matrices à lignes et colonnes à coefficients dans .
Lorsque , on note plus simplement pour .
On note la matrice identité.
Pour , on note la matrice transposée de .
On note l'ensemble des matrices symétriques de taille à coefficients dans , c'est-àdire des matrices telles que .
On dit qu'une matrice est orthogonale si .
Une fonction est dite développable en série entière sur si toutes ses fonctions coefficients le sont.
On note l'ensemble des fonctions qui sont développables en série entière sur au sens précédent et les fonctions de qui sont à valeurs dans .
Pour et , on note la matrice obtenue en évaluant tous les coefficients de au point .
On note encore l'unique élément tel que pour et la fonction constante de valeur .
Soit un entier. Si avec entiers et pour , on note la matrice diagonale par blocs suivante :
Si pour , on note l'élément défini par pour .
Pour , on note :
  • le sous-espace vectoriel de formé des vecteurs tels que ,
  • le sous-espace vectoriel de formé des vecteurs de la forme .

Polynômes

Soit un entier naturel. On note l'ensemble des polynômes à coefficients réels et de degré inférieur ou égal à . On note l'ensemble des fonctions de vers de la forme avec pour . On notera dans la suite simplement une telle fonction.
Si , on note l'entier . On dit que est unitaire de degré si est de la forme
Pour (avec et , on note le polynôme
Soit . Si et si , on note la fonction
Dans tout le problème, on fixe un nombre réel strictement positif.

Première partie

  1. Montrer que, pour tout et tous , les ensembles et sont stables par somme.
  2. Montrer que, pour tout et tout , les ensembles et sont stables par produit.
  3. Soit tel que . Montrer que l'application qui à une fonction associe sa restriction à est injective.
Dans la suite, on identifiera à un sous-anneau de .
4. Soit tel que . Montrer que est une norme sur et que pour tout .
5. Soit tel que . Soit une suite d'éléments de . On suppose que converge. Montrer que converge normalement sur vers une fonction . Montrer que converge également vers pour la norme .
6. Soit tel que . Le but de cette question est de montrer qu'il existe tel que .
6a. Montrer que l'on peut supposer sans perte de généralité que .
On écrit à présent et on suppose que .
6b. Uniquement dans cette sous-question, on suppose qu'il existe tel que et tels que pour tout .
On écrit . Montrer que :
On définit à présent la suite par la formule de récurrence ci-dessus.
6c. Montrer qu'il existe tel que pour tout .
6d. Montrer que pour tout .
6e. Conclure.
7. Montrer que est un anneau intègre.

Deuxième partie

Soit un entier naturel. Pour et avec , on définit :
  1. Soient et soient .
8a. Montrer est une norme sur .
8b. Montrer que si et , alors et
  1. Soient . On suppose que est unitaire de degré .
9a. Montrer qu'il existe des éléments et uniquement déterminés tels que .
Les éléments et sont appelés respectivement le quotient et le reste de la division euclidienne de par .
9b. Soient de plus avec . Montrer que, si , alors
(On pourra commencer par traiter le cas où .)
On se propose à présent de démontrer le théorème suivant.
Théorème 1. Soit un entier naturel et soit unitaire. Soit une racine de de multiplicité . Alors il existe tel que et et unitaires tels que et .
Pour cela, on se donne .
On suppose dans un premier temps que , que et que est la fonction constante égale à 1 .
10. Soit unitaire et tel que . Soit le reste de la division euclidienne de par . Montrer que est unitaire de degré et que .
On définit une suite de polynômes par la formule de récurrence suivante :
où désigne le reste de la division euclidienne de par (voir question . On note le quotient de la division euclidienne de par . On déduit de la question que tous les polynômes sont unitaires de degré .
On se donne de plus avec et on pose, pour :
  1. Montrer que l'on peut choisir et de sorte que et .
À partir de maintenant, et jusqu'à la fin de cette partie, nous faisons cette hypothèse sur et .
12. Vérifier que, pour tout , on a la relation :
  1. Montrer que, pour tout , on a et si alors :
  1. En déduire que, pour tout , on a :
  • ,
  • ,
  • .
15a. Montrer que la suite converge pour la norme vers un polynôme unitaire de degré qui vérifie .
15b. Montrer qu'il existe tel que .
16. Démontrer le théorème 1 .
17. Soit tel que . Montrer qu'il existe tel que et tel que sur et .

Troisième partie

On dit qu'une matrice est orthogonale si .
Le but de cette partie est de démontrer le théorème suivant.
Théorème 2. Soit . Alors il existe tel que et une matrice orthogonale telle que est diagonale.
On considère et on pose .
18. Montrer que admet une valeur propre réelle.
Dans la suite, on fixe une valeur propre réelle de et on note sa multiplicité comme racine de . Par le théorème 1, il existe tel que se factorise sous la forme avec et et .
19. Uniquement dans cette question, on suppose que . Montrer qu'il existe une matrice symétrique telle que pour tout .
On pose et ; on a donc .
Pour , on pose et .
20. Montrer qu'il existe deux matrices et telles que :
  • ,
  • et
  • la matrice par blocs est inversible.
On pose . Pour , on note l'ensemble des éléments tels que, pour tout , la matrice est inversible et l'application de dans est un élément, noté , de .
21. Montrer qu'il existe tel que . (On pourra utiliser le résultat de la question 6.)
22. On considère un nombre réel .
22a. Montrer que .
22b. Montrer les égalités :
  • et
  • .
    (On pourra commencer par montrer les inclusions de la gauche vers la droite, puis utiliser un argument de dimensions.)
  1. Montrer que avec .
  2. Montrer que, pour tout , la somme directe de la question 22a est orthogonale pour le produit scalaire usuel sur .
  3. Montrer qu'il existe tel que et des matrices telles que la matrice soit orthogonale. (On pourra utiliser le résultat de la question .)
  4. Démontrer le théorème 2 .
X ENS Mathématiques B MP MPI 2023 - Version Web LaTeX | WikiPrépa | WikiPrépa