X ENS Mathématiques A MP 2021

ECOLE POLYTECHNIQUE ECOLES NORMALES SUPERIEURES

CONCOURS D'ADMI SSI ON 2021

Sous-groupes finis de

Notations

• Les lettres désignent respectivement l'ensemble des entiers naturels, des entiers relatifs, des nombres rationnels, des nombres réels, des nombres complexes. La notation désigne l'ensemble des entiers naturels non nuls.
• Si , on note la partie entière de , c'est-à-dire le plus grand entier tel que .
• Si est un ensemble fini, on note son cardinal.
• Si , on note si divise , et dans le cas contraire.
• Si , on note si .
• Si est un nombre premier et , on note le plus grand entier tel que .
• Pour désigne le groupe des permutations de l'ensemble , et désigne le morphisme signature.
• Pour , on notera le nombre de parties à éléments dans un ensemble à éléments.
• Tous les anneaux considérés dans ce sujet sont unitaires.
• Si est un anneau commutatif et , on définit comme l'ensemble des matrices carrées de taille à coefficients dans . On pourra utiliser librement le fait que l'addition coefficient par coefficient et la multiplication matricielle munissent d'une structure d'anneau.
• Si est un anneau commutatif et , en notant les coefficients de , on définit la trace de par la formule et le déterminant de par la formule . On pourra utiliser librement le fait que pour , .
• Si et est un anneau commutatif, pour tout on note le polynôme caractéristique de .
• Pour désigne l'ensemble des matrices carrées de taille à coefficients dans , et désigne le groupe multiplicatif des matrices inversibles de taille à coefficients dans .
• Pour désigne l'ensemble des matrices carrées de taille à coefficients dans , et désigne le sous-groupe de constitué des matrices inversibles dont l'inverse est dans (on ne demande pas de démontrer que cet ensemble est bien un sous-groupe de ).
• Si est un groupe d'élément neutre , on rappelle qu'un élément de est dit d'ordre fini s'il existe un entier tel que . Dans ce cas, l'ordre de est le plus petit entier tel que .
• Si et , on dit que est une racine -ième de l'unité si . S'il existe tel que soit une racine -ième de l'unité, on dira simplement que est une racine de l'unité.

Préliminaires

1. Soit une racine de l'unité. Justifier que .
2. Soit , et soit . On suppose que est d'ordre . Démontrer que est diagonalisable, et que toutes ses valeurs propres sont des racines -ièmes de l'unité.
3. Soit , et soit .
   (a) Démontrer que tels que .
   (b) En déduire que si est premier, .

1 Éléments d'ordre fini de

1. Démontrer que .
2. On suppose que les valeurs propres de sont réelles, déterminer les valeurs possibles pour .
3. On suppose maintenant que n'a pas de valeurs propres réelles. Démontrer que le polynôme caractéristique de est l'un des polynômes suivants : .
4. En déduire que .

2 Sous-groupes finis de

1. Soit un entier. Soit . On suppose que est d'ordre fini et que a tous ses coefficients divisibles par . Soit .
   (a) Montrer que est diagonalisable sur , et que pour toute valeur propre de , on a .
   (b) En déduire qu'il existe tel que .
   (c) Conclure que .
2. Soit est un sous-groupe fini de , et soit un entier.
   (a) Démontrer que l'application de réduction modulo des coefficients induit une application injective .
   (b) En déduire que .

3 Traces des éléments d'un -sous-groupe de

1. Soit un nombre premier.
   (a) Démontrer que pour tout , l'entier est multiple de .
   (b) Soit un anneau. On note . Démontrer que pour tous tels que , on a .
2. Soit un anneau commutatif, et soit un idéal de . Soient et . On suppose que tous les coefficients de sont dans l'idéal . Démontrer que .
3. Soit un nombre premier. Démontrer que pour tout polynôme , on a :

4. Soit , et soit un nombre premier.
   (a) Justifier qu'il existe telle que .
   (b) Démontrer que
   (c) En déduire que .
5. Soit . Démontrer que .
6. Soit et soit un nombre premier. On suppose que . Démontrer que .
7. Soit non divisible par . On note

9. Soit . On note la multiplicité de 1 comme racine de , et le nombre de racines de d'ordre (comptées avec multiplicité). Démontrer que .
10. On note . Soit , démontrer que .

4 Cardinaux des -sous-groupes de

1. Soit un sous-groupe fini. Soit .
   (a) Démontrer que est un projecteur sur .
   (b) En déduire que est un entier divisible par .
2. Soient . Pour et , on note la matrice par blocs, de taille , définie par :