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X ENS Mathématiques A MP 2020

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ECOLE POLYTECHNIQUE ECOLES NORMALES SUPERIEURES

CONCOURS D'ADMISSION 2020

LUNDI 20 AVRIL 2020-8h00-12h00 FILIERE MP - Epreuve

MATHEMATIQUES A
(XLCR)

Le but de ce problème est d'étudier certains aspects de la diagonalisabilité des matrices symétriques à coefficients rationnels. Ces matrices sont diagonalisables dans , mais il se trouve que leurs valeurs propres ne peuvent pas prendre n'importe quelle valeur réelle. Le principal objectif de ce problème est de caractériser les nombres réels qui apparaissent comme valeurs propres de matrices symétriques à coefficients rationnels.

Notations

Dans tout le problème, si et sont des entiers naturels non nuls et est un corps,
  • on note l'ensemble des matrices à lignes et colonnes à coefficients dans ainsi que l'ensemble des matrices carrées de taille à coefficients dans ;
  • on identifie l'espace vectoriel à l'espace vectoriel des vecteurs colonnes ;
  • on note l'ensemble des matrices symétriques carrées de taille à coefficients dans ;
  • si , on note la matrice transposée de et, si ,
son polynôme caractéristique, qui est donc un polynôme unitaire;
  • si sont des éléments de , on note la matrice diagonale de taille de coefficients diagonaux .

Première partie

  1. Exhiber une matrice dont est valeur propre.
  2. Le but de cette question est de montrer que n'est pas valeur propre d'une matrice de . On suppose qu'il existe telle que est valeur propre de .
2a. En utilisant l'irrationnalité de , montrer que le polynôme caractéristique de est .
2b. Montrer que si , alors est congru à 0 ou 1 modulo 3 .
2c. Montrer qu'il n'existe pas de triplet d'entiers ( ) premiers entre eux dans leur ensemble tel que .
2d. Conclure.
3a. On se donne et une matrice telle que . Construire une matrice commutant à la matrice et telle que .
3b. Montrer que pour tout , il existe et des matrices qui commutent deux à deux et telles que pour tout entier .
3c. Soit un entier. En déduire que si , alors il existe et des matrices qui commutent deux à deux et telles que pour tout .
4. Le but de cette question est de montrer que n'est pas valeur propre d'une matrice symétrique à coefficients dans . On raisonne par l'absurde, supposant l'existence d'une matrice (pour un certain entier ) dont est valeur propre.
4a. Montrer que divise le polynôme caractéristique de . (On pourra commencer par prouver que .)

4b. Conclure.

  1. Pour , construire une matrice dont est valeur propre. (On pourra commencer par construire une matrice orthogonale à coefficients dans qui admet pour valeur propre.)

Deuxième partie

Soit un polynôme unitaire de degré à coefficients complexes que l'on écrit sous la forme :
On suppose que . On note les racines de (avec multiplicité). Pour tout entier , on définit :
  1. Soit le polynôme réciproque de défini par . Montrer que :
  1. On définit la fonction par .
Montrer qu'il existe tel que est développable en série entière sur , et que le développement en série entière de en 0 s'écrit :
8a. Montrer que si sont des éléments de , alors pour tout .
8b. Réciproquement montrer que si pour tout , alors sont des éléments de .
8c. En déduire que si sont des nombres complexes et si , alors si et seulement si
  1. Soient et deux entiers et des nombres complexes. On définit :
Montrer que si et sont à coefficients rationnels, alors les polynômes
sont aussi à coefficients rationnels.

Troisième partie

On dit qu'un nombre complexe est totalement réel (resp. totalement positif) s'il existe un polynôme non nul à coefficients rationnels tel que :
(i) est une racine de , et
(ii) toutes les racines de sont dans (resp. dans ).
10. Soit une matrice symétrique à coefficients dans . Montrer que les valeurs propres de sont totalement réelles.
11a. Montrer que l'ensemble des nombres totalement réels est un sous-corps de . (On pourra utiliser le résultat de la question 9 .)
11b. Montrer que l'ensemble des nombres totalement positifs est inclus dans , est stable par addition, multiplication et que l'inverse d'un nombre totalement positif non nul est totalement positif.
12. Soit un nombre complexe. Montrer que est totalement réel si et seulement si est totalement positif.

Quatrième partie

Le but de cette partie est de montrer que, réciproquement, tout nombre totalement réel est valeur propre d'une matrice symétrique à coefficients dans .
On note l'ensemble des nombres totalement réels et on admet qu'il existe une fonction vérifiant les deux propriétés suivantes :
(i) pour et , on a
(ii) pour totalement positif, on a et l'égalité est stricte si .
On considère un nombre totalement réel non nul. Par définition, il existe un polynôme unitaire qui annule . On écrit sous la forme :
avec et pour tout . On suppose en outre que est choisi de façon à ce que soit minimal parmi les degrés des polynômes unitaires tels que .
On considère la matrice de taille dont le coefficient , vaut . Pour , on pose .
13a. Montrer que pour .
13b. En déduire que la matrice est inversible.
14. Montrer que est un produit scalaire sur .
15a. Montrer qu'il existe une base de avec pour tout et 0 pour .
15b. En déduire qu'il existe et , tels que :
On pose :
  1. Calculer le polynôme caractéristique de .
17a. Vérifier que la matrice est symétrique.
17b. En déduire que la matrice est symétrique où .
18. Construire une matrice symétrique à coefficients rationnels dont est valeur propre.
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