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X ENS Mathématiques A MP 2019

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Algèbre généralePolynômes et fractionsSéries entières (et Fourier)Fonctions (limites, continuité, dérivabilité, intégration)Algèbre linéaire
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X-ENS
Année
2019
Filière
MP
Matière
Maths
X-ENS MPX-ENS 2019MP MathsMaths 2019
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JEUDI 18 AVRIL 2019-8h00 - 12h00 FILIERE MP - Epreuve

MATHEMATIQUES A(XLCR)

Notations

On notera respectivement et les corps des nombres complexes, réels et rationnels, et l'anneau des entiers relatifs.
Pour un entier on dit qu'un nombre complexe est une racine -ième de l'unité si , et que est une racine de l'unité s'il existe tel que soit une racine -ième de l'unité.
Pour on notera l'anneau des polynômes à coefficients dans . Un polynôme non nul est unitaire si son coefficient dominant est égal à 1. Un polynôme est irréductible dans si n'est pas constant et si l'égalité avec implique que ou est constant.
Un nombre complexe est appelé nombre algébrique s'il existe non nul tel que . On dit que est un entier algébrique s'il existe unitaire tel que .
On admet le résultat suivant.
Théorème: L'ensemble des entiers algébriques est un sous-anneau de .
Le problème est consacré à l'étude des polynômes unitaires , irréductibles dans et qui possèdent beaucoup de racines de module 1 .
La partie 1 est préliminaire et utilisée en fin de parties 2 et 3 . La partie 3 est indépendante de la partie 2 . La partie 4 utilise les notions introduites précédemment mais est, à l'exception des questions 19 et 20 , indépendante du reste.

Partie 1

Le but de cette partie est d'introduire les notions de polynôme minimal et de degré d'un nombre algébrique, et de montrer que le polynôme minimal d'un entier algébrique est à coefficients entiers.
Dans les questions 1 à 4, on fixe un nombre algébrique . Soit
  1. Montrer que est un idéal de , différent de .
Il existe donc un unique polynôme unitaire , appelé polynôme minimal de , tel que
On appelle degré de le degré du polynôme .
2. Montrer que est de degré 1 si et seulement si .
3. (a) Montrer que est irréductible dans .
(b) Soit un polynôme unitaire, irréductible dans . Montrer que si est une racine complexe de , alors est le polynôme minimal de .
4. (a) Soient deux polynômes qui possèdent une racine commune dans . Montrer que et ne sont pas premiers entre eux dans .
(b) Montrer que les racines de dans sont simples.
5. (a) Montrer que si est un entier algébrique, alors .
(b) Montrer que si est un entier algébrique alors .
Indication: utiliser le théorème admis en introduction ainsi que la question 5a.
6. (a) Soit un entier algébrique de degré 2 et de module 1. Montrer que est une racine de l'unité.
(b) Montrer que est un nombre algébrique de degré 2 et de module 1 mais n'est pas une racine de l'unité.

Partie 2

Le but de cette partie est de caractériser les polynômes unitaires , irréductibles dans , dont toutes les racines sont de module 1 .
Pour un entier supérieur ou égal à 1 on dit qu'une racine -ième de l'unité est primitive si pour tout entier tel que . On note l'ensemble des racines primitives -ièmes de l'unité. On a donc . On définit par
Si et sont des entiers, on écrit si a divise .
7. Montrer que pour tout on a
le produit étant pris sur l'ensemble des entiers divisant .
8. (a) Montrer que si est un nombre premier et est un entier, alors
(b) Calculer pour .
On fixe un entier pour toute la suite de cette partie.
9. (a) Calculer .
(b) Calculer en fonction de la décomposition en facteurs premiers de .
Indication: raisonner par récurrence sur , en utilisant la question 7.
10. Montrer que .
Soit un polynôme unitaire de degré , irréductible dans et dont toutes les racines complexes sont de module 1. L'objectif des questions 11 et 12 est de montrer que toutes les racines de sont des racines de l'unité. Soient les racines complexes de comptées avec leurs multiplicités, de sorte que
Pour tout entier on note
  1. (a) Montrer que la série converge pour tout tel que .
    (b) Soit non nul tel que et soit la somme de la série . Montrer que
(c) En déduire que pour tout .
12. (a) Montrer qu'il existe deux entiers tels que pour tout . On fixe deux tels entiers dans les questions 12 b et 12 c .
(b) Montrer que pour tout polynôme de degré inférieur ou égal à .
(c) Montrer que sont deux à deux distincts. En déduire que pour tout et conclure.
Soit . Le but des questions 13 et 14 est de montrer que est le polynôme minimal de , i.e. . Soit un nombre premier ne divisant pas .
13. (a) Soient . Montrer qu'il existe tel que
(b) Montrer que et en déduire l'existence d'un polynôme tel que
(c) Montrer que est un entier algébrique.
14. (a) Exprimer en fonction de le nombre , où sont les racines du polynôme .
Indication: On pourra considérer les nombres .
(b) Montrer que .
Indication: montrer que si , alors il existe un entier algébrique tel que .
(c) Conclure que .

Partie 3

Le but de cette partie est d'introduire et d'étudier une certaine classe d'entiers algébriques, qui ne sont pas des racines de l'unité et dont le polynôme minimal possède beaucoup de racines de module 1 .
Un polynôme unitaire de degré
est dit réciproque si pour .
15. (a) Montrer qu'un polynôme unitaire de degré est réciproque si et seulement si .
(b) Soit un polynôme unitaire réciproque. Montrer que si est une racine de , alors et est aussi une racine de , avec la même multiplicité.
Si est un nombre algébrique de polynôme minimal , les racines complexes de différentes de sont appelées les conjugués de . On notera l'ensemble des conjugués de . L'ensemble est donc vide si a est de degré 1 .
16. Soit un nombre algébrique de module 1 et tel que . Montrer que est un conjugué de . En déduire que est réciproque.
On note l'ensemble des nombres réels qui sont aussi des entiers algébriques de degré au moins 2 et qui vérifient
  1. Soit un élément de et soit de module 1 .
    (a) Montrer que le polynôme minimal de est réciproque et que est un conjugué de .
    (b) Montrer que n'est pas une racine de l'unité.
    (c) Montrer que tous les conjugués de autres que sont de module 1 .
  2. Montrer que le degré de tout élément de est un entier pair, supérieur ou égal à 4 .

Partie 4

Dans cette partie on étudie une famille infinie d'éléments de l'ensemble introduit dans la partie 3, avant la question 17.
Pour tout entier , on définit par
  1. Vérifier que n'a pas de racine dans et que a au moins une racine réelle strictement plus grande que 1 . On fixe une telle racine dans la suite.
  2. Montrer que si est une racine de , alors est aussi une racine de , avec la même multiplicité.
On note les racines de dans et on pose
  1. Montrer que et .
  2. Montrer que est réel et que . En déduire que n'est pas réel et que est de module 1 .
  3. (a) Montrer que et sont irrationnels.
    (b) En déduire que est irréductible dans et que .
    (c) Montrer que .
  4. Soit l'ensemble des de degré 4 . Montrer que possède un plus petit élément et calculer ce nombre.
On ne sait pas si l'ensemble possède un plus petit élément. Le plus petit élément de connu est la plus grande racine réelle du polynôme .
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