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X ENS Mathématiques A MP 2012

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Algèbre bilinéaire et espaces euclidiensAlgèbre généraleAlgèbre linéaireRéductionSéries et familles sommables
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X-ENS
Année
2012
Filière
MP
Matière
Maths
X-ENS MPX-ENS 2012MP MathsMaths 2012
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COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES - A - (XLC)

(Durée : 4 heures)
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Représentations de dimension finie de l'algèbre de Lie de

Notations

Lorsque est un entier positif non nul, on note l'algèbre des matrices à lignes et colonnes dont les coefficients sont des éléments de . On note la matrice identité de .
On munit cet espace de la norme subordonnée
où est la norme hermitienne de dans , identifié à l'espace des vecteurs colonnes : si , alors .
Pour , on note la matrice transposée de , et la matrice dont les coefficients sont les conjugués dans des coefficients de . On note la trace de et le déterminant de . On rappelle que les matrices de déterminant non nul forment un groupe multiplicatif, que l'on note . Pour , on note .
On note l'ensemble des matrices de vérifiant et .
On note l'ensemble des matrices de vérifiant , et le sous-ensemble de formé des matrices dont le déterminant est égal à 1 .

Première partie

1a. Dans cette question, est vu comme espace vectoriel sur . Quelle est sa dimension? Montrer que est un sous-espace vectoriel de dimension 3 dont une base est formée par ( ) avec
1b. Calculer et en fonction de et .
2. Pour , on rappelle que l'exponentielle de est la matrice à coefficients complexes donnée par la formule
2a. Justifier la convergence de cette série.
2b. Montrer que pour et matrice inversible de ,
2c. Montrer que si est une matrice triangulaire supérieure de , de coefficients diagonaux , alors est une matrice triangulaire supérieure de de coefficients diagonaux .
2d. Montrer que si , alors .

Deuxième partie

  1. Montrer que est un sous-groupe de , et que est un sous-groupe de .
  2. Montrer que les éléments de sont les matrices de la forme , avec et .
  3. Soient et tels que .
5a. Montrer que .
5b. Soit . Montrer que si , alors .
6a. Montrer que toute matrice de s'écrit sous la forme
avec et .
6b. Montrer que si , il y a équivalence entre les deux propriétés suivantes :
i) ;
ii) il existe tel que .
7a. Soit ; on suppose que . Montrer que
tend vers zéro quand . En déduire que .
7b. Montrer que l'image de , par l'application , est contenue dans .
7c. Montrer que l'application est surjective.
7d. L'application est-elle injective?
8. Soit un sous-groupe de tel que pour tout et tout , on ait . On suppose de plus que contient au moins un élément différent de et de .
8a. Montrer que contient au moins un élément de la forme avec .
8b. Lorsque est donnée sous la forme indiquée à la question 4., calculer les coefficients diagonaux de en fonction de et de .
8c. Montrer que contient un intervalle de la forme avec .
9. Montrer que . On dit que le groupe est simple.

Troisième partie

On se donne un espace vectoriel sur de dimension finie, et des endomorphismes non nuls de tels que
On note et .
10. Calculer
  1. Soit un vecteur propre de , associé à une valeur propre . Si , montrer qu'il existe tel que
  1. Montrer qu'il existe un vecteur propre de , associé à une valeur propre , et tel que .
  2. Pour , on note . Calculer en fonction de et . Calculer en fonction de et .
14a. Montrer qu'il existe tel que soit nul et soient linéairement indépendants.
14b. On suppose que . Montrer que pour , on a
et d'autre part
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