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X ENS Mathématiques A MP 2011

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RéductionAlgèbre bilinéaire et espaces euclidiens
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X-ENS
Année
2011
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MP
Matière
Maths
X-ENS MPX-ENS 2011MP MathsMaths 2011
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ÉCOLE POLYTECHNIQUE - ÉCOLES NORMALES SUPÉRIEURES

COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES - A - (XLC)

(Durée : 4 heures)
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Valeurs singulières d'une matrice et inégalités de traces

Notations et conventions

Dans ce problème l'espace vectoriel est muni du produit scalaire hermitien usuel noté (.|.); on rappelle qu'il est linéaire à droite, semi-linéaire à gauche et que la base canonique ( ) de est orthonormale. On note l'espace vectoriel sur des matrices à lignes et colonnes à coefficients complexes qu'on identifie à l'espace vectoriel des endormorphismes de et la matrice identité de . Le coefficient de la -ième ligne et -ième colonne d'une matrice est noté . On note , appelée adjointe de la matrice de , la matrice définie pour tous .
On définit les sous-ensembles de suivants :
é
Enfin, pour tout sous-espace vectoriel de désigne le sous-espace orthogonal pour le produit hermitien usuel.
Ce problème a pour but l'étude de quelques inégalités de traces sur les matrices carrées à coefficients complexes via l'introduction de la décomposition en valeurs singulières et le calcul de la distance minimale pour la norme de Frobenius entre deux matrices de définies à équivalence près par des changements de bases dans .

Première partie : étude de

  1. Soit une matrice de . Montrer pour tout couple ( ) de vecteurs de :
2a. Montrer que si et seulement si .
2b. Montrer que si et seulement si les colonnes de forment une base orthonormale de .
3a. Montrer que si . En déduire que si est une valeur propre de et si est le sous-espace propre associé, alors .
3b. En déduire que .
4. Soit une matrice de . On note les racines du polynôme caractéristique (non nécessairement distinctes) de . Montrer que si , alors . (On pourra calculer la trace de .)
5a. Soit une matrice de . Montrer que si , alors et ont même noyau.
5b. Montrer que les deux propositions suivantes sont équivalentes :
(i) .
(ii) Tout vecteur propre de est vecteur propre de son adjointe .
Pour , on pourra procéder par récurrence sur la dimension et pour un vecteur propre de considérer l'orthogonal de l'espace vectoriel engendré par .
6a. Prouver que si la matrice , son adjointe peut s'exprimer comme un polynôme en à coefficients complexes. (On pourra utiliser les polynômes d'interpolation de Lagrange.)
6b. Prouver que si et sont dans et commutent alors .
7. Prouver que si est une matrice de les deux propositions suivantes sont équivalentes:
(i)
(ii) Il existe une matrice commutant avec telle que .
On pourra construire à partir des valeurs propres de et raisonner dans une base orthonormale bien choisie.

Deuxième partie : valeurs singulières d'une matrice

  1. Montrer que (resp. ) si et seulement si est diagonalisable dans une base orthonormale et ses valeurs propres sont réelles (resp. réelles positives).
  2. Montrer que si il existe une unique matrice telle que . (Pour l'unicité, on pourra se ramener au cas où est un multiple de l'identité en considérant les sous-espaces propres de .)
Si est une matrice de on dit que est une décomposition polaire de si et . Dans la suite du problème, on admettra l'existence d'une décomposition polaire pour toute matrice de .
Si est une matrice de on dit que est une décomposition en valeurs singulières de si et est à coefficients réels positifs ou nuls.
10. Prouver que toute matrice de admet une décomposition en valeurs singulières. (On pourra commencer par écrire une décomposition polaire de .)
11. Soit . Montrer qu'il existe une décomposition en valeurs singulières de pour laquelle les coefficients diagonaux de vérifient et que ces coefficients sont alors déterminés de façon unique. On les appelera les valeurs singulières de .

Troisième partie : inégalités de traces

  1. Soit une matrice vérifiant
12a. Montrer que les coefficients de vérifient :
(i) pour tout entier entre 1 et ,
(ii) .
12b. Soit des réels et la matrice diagonale telle que pour tout entier entre 1 et . Montrer que . Trouver une matrice vérifiant les conditions telle que .
12c. Montrer que si sont deux matrices vérifiant les conditions ( ), il existe telle que . En déduire que où est une matrice vérifiant .
On dit qu'une matrice de est doublement stochastique si est à coefficients réels positifs et vérifie et , pour tout entier compris entre 1 et . On note l'ensemble des matrices doublement stochastiques dans .
13. Montrer que si , la matrice dont les coefficients sont les est doublement stochastique.
14. Soit une matrice doublement stochastique de et soient
des réels. On suppose que n'est pas la matrice identité et on note le plus petit entier tel que .
14a. Montrer qu'il existe deux entiers et vérifiant et tels que .
14b. Construire une matrice doublement stochastique de vérifiant :
(i) si ,
(ii) ou est nul,
(iii) .
En déduire que .
15. Soient et deux matrices dans .
15a. Soit la matrice diagonale dont les coefficients diagonaux sont les valeurs singulières de et soit la matrice diagonale dont les coefficients diagonaux sont les valeurs singulières de telles que
Montrer qu'il existe et dans telles que .
15b. Montrer que et en déduire que
15c. Soient et dans . Montrer que .
16. Soient et dans et soient
leurs valeurs propres.
Montrer que
où la norme sur est donnée par . On pourra commencer par déterminer .
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