LUNDI 15 AVRIL 2024
08h00-12h00
FILIERES MP-MPI - Epreuve n

MATHEMATIQUES A (XLSR)

(Durée : 4 heures)

Le problème comporte deux parties qui sont indépendantes.

On note l'ensemble des entiers naturels et l'ensemble des entiers naturels non nuls.
Soit un entier naturel non nul. On note le groupe des permutations de et la signature d'une permutation .
Si , on appelle point fixe de un élement tel que . On note le nombre de points fixes de . On appelle dérangement une permutation n'ayant aucun point fixe. On note l'ensemble des dérangements de et son cardinal.
Si est un entier naturel tel que , on note le coefficient binomial correspondant au nombre de parties à éléments d'un ensemble à éléments. Par convention, on pose pour un entier naturel .
On note l'ensemble des polynômes à une indéterminée et à coefficients réels. Si de plus est un entier naturel, on note l'ensemble des éléments de degré inférieur ou égal à .

Si et sont deux entiers naturels, on note la relation divise .
Si est un réel, on note sa partie entière, c'est-à-dire l'unique entier tel que .
Si est un nombre premier et un entier naturel non nul, on note

Soit un entier naturel non nul. On note l'ensemble des matrices carrées de taille à coefficients réels.
Pour tout ensemble , on note l'ensemble des parties de .
On note la fonction de dans définie par .
Si désigne une suite de nombres réels, on note, pour tout nombre réel ,

avec la convention que la somme indexée par l'ensemble vide vaut 0 et le produit indexé par l'ensemble vide vaut 1 .

On pourra utiliser sans démonstration le fait qu'il existe un réel tel que

Soit un entier naturel . Pour tout nombre réel , on considère la matrice de suivante

1a. Montrer que la matrice est diagonalisable et déterminer ses valeurs propres et ses sous-espaces propres.

1b. En déduire que pour tout , on a

et en déduire la probabilité qu'une permutation de tirée uniformément au hasard soit de signature prescrite.
4. Pour , préciser à quelle condition sur , on a . En déduire que

Soit . On considère la matrice

5a. Justifier que les familles et sont des bases de .

5b. Montrer que la transposée de est la matrice de l'application linéaire identité

dans les bases au départ et à l'arrivée.
5c. Établir que est inversible et expliciter son inverse.
5d. En déduire que pour tous ,

Pour un entier naturel supérieur ou égal à 2 , on considère l'espace probabilisé muni de la probabilité uniforme. On définit une variable aléatoire par .

7a. Expliciter la loi de .
7b. Calculer, pour tout .
Pour un entier naturel supérieur ou égal à 2 , on considère l'espace probabilisé ( ) muni de la probabilité uniforme. On définit une variable aléatoire par .

8a. Expliciter la loi de .
8b. Calculer, pour tout entier naturel .
8c. Déterminer le nombre moyen de points fixes d'une permutation aléatoire ainsi que sa limite quand tend vers .
Soit un entier naturel non nul. Pour toute permutation , on rappelle qu'il existe, à l'ordre près, une unique décomposition , où où sont des cycles à supports disjoints de longueurs respectives et . En particulier, on prendra garde au fait que l'on prend ici en compte les cycles de longueur 1 , qui correspondent aux points fixes de , auquel cas est l'identité.
Par exemple, si est la permutation identité de , on a et . Et si est la permutation de , on a où est l'identité et de sorte que .
On obtient ainsi une application . On se propose de montrer qu'en moyenne, est de l'ordre de dans un sens que l'on précisera.
Pour un entier inférieur ou égal à , on note le nombre de permutations de telles que . On considère alors, sur l'espace probabilisé ( ) muni de la probabilité uniforme, la variable aléatoire définie par .
9. Calculer, pour , la quantité .
10. Préciser et puis montrer que, pour , on a

Pour , on pourra distinguer les cas et .
11. Établir que, pour tout réel .
12. Démontrer que .

13a. Montrer que

13b. En déduire que

14a. Montrer que

pour un réel à préciser.

14b. Montrer que

Pour tout entier naturel non nul, on pose

Par exemple, .
16. Soit une suite de nombres réels. Pour , on pose . Soit une fonction de classe . Montrer que pour tout entier ,

17a. Traiter les cas .
On suppose à présent et le résultat connu au rang pour tout entier compris entre 1 et .

17b. Établir le résultat au rang si est pair.
17c. Soit avec . Justifier que divise et montrer que .

17d. Conclure.
18. Soit un entier naturel non nul et soit un nombre premier. Justifier la formule et montrer que

19a. Par comparaison avec une intégrale, établir que

19b. Justifier que et en déduire que

19c. Justifier que la série converge.
19d. Conclure que .

20a. On pose, pour tout réel ,

Montrer, en utilisant le résultat de la question 16, que

20b. Justifier que la fonction est intégrable sur .
20c. Établir que , pour un réel à préciser.
21a. Soient un réel positif supérieur ou égal à 1 et . Justifier que la quantité

est bornée en valeur absolue par un réel indépendant de et de .
21b. Démontrer, à l'aide d'une interversion de sommes, que .
22a. Montrer que

22b. Montrer que

22c. Montrer que

On pourra estimer le cardinal de l'ensemble des paires de nombres premiers ( ) tels que quand tend vers .

22d. Conclure que .
23. On pose . Montrer que

On pourra commencer par écrire et remarquer que dans la somme du membre de droite, la différence reste bornée.

On dit alors que l'ensemble a densité 0 . De même que pour les permutations, on obtient que, en dehors d'un ensemble de densité nulle, .