X ENS Mathématiques A MP MPI 2023

LUNDI 17 AVRIL 2023
08h00-12h00
FILIERE MP-MPI - Epreuve
MATHEMATIQUES A (XLSR)

Notations On note et les corps des nombres réels et complexes. Pour on note le conjugué complexe de et le module de .

Si est un espace euclidien, on note l'espace des applications linéaires de dans lui-même. On note aussi le groupe des applications -linéaires bijectives de sur lui-même, et on note (respectivement ) le groupe orthogonal (respectivement spécial orthogonal) de .

Par convention, les -algèbres considérées dans ce problème seront non nulles, associatives et unitaires, mais pas forcément commutatives. Deux -algèbres et sont dites isomorphes s'il existe une bijection -linéaire telle que pour tous .

Soit une -algèbre et soit l'élément unité de pour la multiplication. On notera la sous-algèbre de . Un élément de est dit inversible s'il existe tel que . On note l'ensemble des éléments inversibles de . On admet que est un groupe pour la multiplication.

On note la -algèbre des matrices de taille à coefficients complexes. Pour on note

Soit . On admet que est un sous- -espace vectoriel de , admettant comme base les matrices

qui vérifient les relations suivantes dans :

On veillera à ne pas confondre l'élément de et la matrice de , ni la matrice avec la matrice identité .

On note .
On définit une application par .
On note .

Si on note .

b) Montrer que pour tout on a et que

La question 3a) montre que l'on définit un produit scalaire , en posant, pour

et que l'on dispose d'une isométrie

de muni du produit scalaire usuel sur . On munit par la suite de sa structure d'espace euclidien induite par le produit scalaire , ( ) est une base orthonormée de .
4. Montrer que est une partie fermée et connexe par arcs de .
5. Soient .
a) Montrer que et sont orthogonaux si et seulement si . Dans ce cas montrer que et que le déterminant de la famille ( ) dans la base ( ) de est positif ou nul.
b) Montrer que si ( ) est une famille orthonormale dans , alors ( ) est une base orthonormée directe de .

On munit de la loi de composition donnée par et on admet qu'elle munit d'une structure de groupe. On considère l'application

en admettant que est bien dans . Pour , on admet que l'endomorphisme de laisse stable le sous-espace de , et on note l'endomorphisme induit. On a donc pour .
6. Montrer que est un morphisme de groupes et décrire son noyau.
7. Montrer que est continu et que l'image de est contenue dans . On pourra commencer par montrer que pour .
8. Soient et , et soit .
a) Montrer que et que .
b) Soit un vecteur orthogonal à . Décrire la matrice de dans la base orthonormée directe de .
9. Montrer que l'application induit un morphisme surjectif de groupes et décrire son noyau.
10. a) En déduire que .
b) Montrer que est un sous-groupe de , puis que pour tous et et que .

Soit l'ensemble des automorphismes de la -algèbre . Un élément de est donc une application -linéaire bijective satisfaisant et pour tout .
11. Montrer que est un sous-groupe de , contenant pour tout .
12. Montrer que est une base orthonormée directe de pour tout .
13. a) Montrer que l'application de restriction à induit un isomorphisme de groupes

b) Montrer que

Le but de cette partie est la preuve du résultat suivant, qui sera utilisé dans la partie IV.

Théorème A. Soit une norme sur le -espace vectoriel . Si

pour tous vérifiant , alors provient d'un produit scalaire sur .

On note la norme euclidienne canonique sur et on note

On fixe une norme quelconque sur et on note

On fixe par la suite un élément de tel que .
15. Montrer que et qu'il existe tel que .

On fixe par la suite tel que .
16. Soit une matrice telle que .
a) Montrer que pour tout il existe tel que

b) Montrer que si , alors .
17. En utilisant ce qui précède, montrer qu'il existe une base ( ) de telle que pour .
18. Soit une partie fermée de , telle qu'il existe avec . On suppose que pour tous avec , on a que et appartiennent à T . Montrer que .
19. Montrer le théorème A.

Soit une -algèbre et son élément neutre. Dans cette partie, on identifiera avec , et on notera (abusivement) l'élément de pour . On dit que est algébrique si pour tout il existe un entier et tels que

On dit que est sans diviseur de zéro si pour tous . Dans cette partie, nous allons montrer le théorème B ci-dessous, puis l'utiliser pour prouver le théorème C plus loin.

Théorème B. Une -algèbre algébrique et sans diviseur de zéro est isomorphe à ou .

Soit une -algèbre algébrique et sans diviseur de zéro.
20. a) Montrer que pour tout .
b) Montrer que si , alors est une -algèbre isomorphe à .

On suppose que n'est pas isomorphe à une des algèbres ou .
21. Montrer qu'il existe tel que .

On fixe par la suite un élément de tel que . On note et on définit l'application

On note id : l'application identité de .
22. a) Montrer que pour tous .
b) Calculer et en déduire que .
23. Montrer que et en déduire que .
24. On fixe .
a) Montrer que l'application envoie dans . En déduire que et que .
b) Montrer que .
c) Démontrer le théorème .

On se propose maintenant de démontrer le résultat suivant:
Théorème . Soit une -algèbre. S'il existe une norme sur le -espace vectoriel telle que

alors est isomorphe à ou .
On fixe une -algèbre comme dans l'énoncé du théorème ci-dessus.
25. Soient tels que et tels que soit de dimension 2 sur . Montrer que

et que la restriction de à provient d'un produit scalaire sur .
26. Montrer que pour tout . On pourra utiliser le résultat de la question 25 avec .
27. Conclure.