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L’objet de ce problème est de calculer, dans quatre exercices différents et totalement indépendants les uns des autres, les paramètres permettant d'éviter un incident ou un accident, mais les quatre "catastrophes" envisagées sont d'importance bien différente (!) et croissante au cours du problème : comme chez un scorpion ,"in cauda venenum : le poison est dans la queue".
Remarques préliminaires
1- Pour ne pas avantager les possesseurs de calculatrices performantes, tout résultat qui ne sera pas précédé d'une démonstration cohérente ne donnera pas lieu àune attribution de points.
2- Toute application numérique qui ne comportera pas d'unités ne donnera pas lieu à attribution de points.
3- Lorsque le résultat d'une question est indiqué, il peut être utilisé, sans pénalité, dans la suite de l'exercice par un candidat qui n'aurait pas réussi à le démontrer.
2- Toute application numérique qui ne comportera pas d'unités ne donnera pas lieu à attribution de points.
3- Lorsque le résultat d'une question est indiqué, il peut être utilisé, sans pénalité, dans la suite de l'exercice par un candidat qui n'aurait pas réussi à le démontrer.
EXERCICE A: DU CAFE CHAUD, MAIS NON BOUILLI
Une casserole, sans couvercle, contenant un litre d'eau froide est posée sur la plaque électrique d'une cuisinière.
Initialement, la plaque est froide et la température de l'eau vaut
Initialement, la plaque est froide et la température de l'eau vaut
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0 | 0,5 | 1,0 | 1,5 | 2,0 | 2,5 | 3,0 | 3,5 | 4,0 | 4,5 | 5,0 | 5,5 | 6,0 | 7,0 | 8,0 | 9,0 |
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20 | 20 | 21 | 23 | 25 | 28 | 31 | 35 | 39 | 43 | 48 | 53 | 58 | 68 | 78 | 88 |
1- Tracer, sur papier millimétré, la courbe représentant les variations de la température au cours du temps. :
Axe des abscisses gradué de 0 à
Axe des ordonnées gradué de 0 à
2- On modélise le comportement du système en assimilant la courbe expérimentale, au cours des neuf premières minutes de chauffage, àdeux segments de droite : le premier, horizontal, de
Déterminer, à partir du graphique, les valeurs de
3- On définit le rendement
a) Sachant que la puissance électrique consommée par la plaque chauffante est
b) Comment faudrait-il procéder pour améliorer la valeur de
Axe des abscisses gradué de 0 à
Axe des ordonnées gradué de 0 à
2- On modélise le comportement du système en assimilant la courbe expérimentale, au cours des neuf premières minutes de chauffage, àdeux segments de droite : le premier, horizontal, de
Déterminer, à partir du graphique, les valeurs de
3- On définit le rendement
a) Sachant que la puissance électrique consommée par la plaque chauffante est
b) Comment faudrait-il procéder pour améliorer la valeur de
4- On désire à présent chauffer l'équivalent de huit petites tasses de café correspondant à un volume de 0,75 litre. Le café, initialement à
chauffage, on se fixe comme limite de temps celle qui correspondrait à une température de
a) Evaluer la durée maximale de l'opération en négligeant la capacité thermique du récipient et en expliquant les hypothèses sur lesquelles est basé votre calcul.
b) Votre résultat est-il compatible avec le résultat expérimental : on mesure une durée de 6 min 15 s pour atteindre une température homogène (par agitation) de
chauffage, on se fixe comme limite de temps celle qui correspondrait à une température de
a) Evaluer la durée maximale de l'opération en négligeant la capacité thermique du récipient et en expliquant les hypothèses sur lesquelles est basé votre calcul.
b) Votre résultat est-il compatible avec le résultat expérimental : on mesure une durée de 6 min 15 s pour atteindre une température homogène (par agitation) de
EXERCICE B: EVITER DE DETERIORER DES COMPOSANTS ELECTRIQUES
On réalise un circuit R-L-C série avec un conducteur ohmique de résistance
Fig 1
On note
On pose
1- Exprimer le module
Le résultat sera donné sous forme d'un quotient dont le numérateur est égal à1.
2- Calculer a) la valeur numérique du facteur de qualité
b) la valeur numérique
c) la valeur numérique de
On pose
1- Exprimer le module
Le résultat sera donné sous forme d'un quotient dont le numérateur est égal à1.
2- Calculer a) la valeur numérique du facteur de qualité
b) la valeur numérique
c) la valeur numérique de
3- Calculer le module de la fonction de transfert pour
Que représentent ces deux valeurs particulières ?
4- Parmi les quatre courbes de la figure 2 ci-dessous, laquelle correspond au graphe simplifié de la courbe
Que représentent ces deux valeurs particulières ?
4- Parmi les quatre courbes de la figure 2 ci-dessous, laquelle correspond au graphe simplifié de la courbe
figure 2
5- Sachant que la bobine et le conducteur ohmique ne peuvent supporter sans risque de destruction un courant d'intensité efficace 500 mA et que le condensateur est détruit lorsque la tension efficace à ses bornes atteint 200 V , à quelle valeur doit-on limiter impérativement
EXERCICE C : MISE SUR ORBITE D'UN SATELLITE
Dans le référentiel géocentrique supposé galiléen, un satellite, de masse
On note
La force gravitationnelle exercée par la Terre sur le satellite est donnée par la relation :
1- Déterminer, à partir de l'expression de la force gravitationnelle, celle de l'énergie potentielle
2- Le satellite décrit, autour du centre de la Terre, une orbite circulaire à l'altitude
a) A partir de la relation fondamentale de la dynamique, déterminer l'expression littérale de sa vitesse
b) En déduire l'expression littérale de l'énergie mécanique en fonction de
3- On ne se limite plus à l'étude d'une trajectoire circulaire.
a) Démontrer que le moment cinétique
b) La position du satellite est repérée, dans le plan de la trajectoire par ses coordonnées polaires
4- On suppose à présent que le satellite décrit l'ellipse d'équation polaire
a) En déduire, en fonction de
b) Démontrer que l'énergie mécanique du satellite est donnée par l'expression
On note
La force gravitationnelle exercée par la Terre sur le satellite est donnée par la relation :
1- Déterminer, à partir de l'expression de la force gravitationnelle, celle de l'énergie potentielle
2- Le satellite décrit, autour du centre de la Terre, une orbite circulaire à l'altitude
a) A partir de la relation fondamentale de la dynamique, déterminer l'expression littérale de sa vitesse
b) En déduire l'expression littérale de l'énergie mécanique en fonction de
3- On ne se limite plus à l'étude d'une trajectoire circulaire.
a) Démontrer que le moment cinétique
b) La position du satellite est repérée, dans le plan de la trajectoire par ses coordonnées polaires
4- On suppose à présent que le satellite décrit l'ellipse d'équation polaire
a) En déduire, en fonction de
b) Démontrer que l'énergie mécanique du satellite est donnée par l'expression
Rappels : La constante des aires
- la première formule de Binet, permettant le calcul de la vitesse
, s'écrit : dans laquelle et - le paramètre
de la trajectoire elliptique a pour valeur : .
5- Le satellite étant situé en un point P d'altitude
EXERCICE D : DIFFUSION DE NEUTRONS
On étudie la diffusion unidirectionnelle de neutrons dans un barreau cylindrique, de longueur
-
la densité volumique des neutrons à l'abscisse et à l'instant -
la densité de courant de neutrons diffusés (de valeur égale au nombre algébrique de neutrons traversant par unité de surface et de temps la section du barreau d'abscisse , à la date , dans le sens des croissants).
La diffusion des neutrons dans le barreau obéit à la loi de Fick :, dans laquelle , appelé coefficient de diffusion, garde une valeur constante positive.
1- On noteet la concentration en neutrons mobiles respectivement en et àl'abscisse . Quelle serait, en régime permanent et en négligeant tout phénomène d'absorption, la valeur de (densité du courant de neutrons) en fonction de et ?
2- Dans cette question, on suppose qu'une pastille irradiée, placée dans le prolongement du barreau, envoie dans celui-ci un flux homogène et constant de neutrons. On note(valeur constante positive) le nombre de neutrons traversant par unité de surface et de temps la section du barreau d'abscisse et la concentration en neutrons mobiles à cet endroit. On tient compte de l'absorption des neutrons par le matériau en notant le nombre de neutrons par unité de volume et de temps absorbés par le matériau. est une constante positive.
a) En faisant le bilan des neutrons absorbés ou produits dans une tranche d'épaisseuràl'abscisse , montrer que vérifie l'équation différentielle: .
b) Déterminer, en régime permanent, la loi de variationen fonction de et .
c) En déduire pour quelle valeur' de l'abscisse le courant de neutrons s'annule.
Montrer que ce dernier résultat pouvait être obtenu plus simplement.
d) Expliquer en quoi l'hypothèse considérant
3- On étudie la diffusion unidimensionnelle des neutrons dans un barreau de matière fissile. Deux phénomènes se produisent dans la matière fissile : la réaction de fission absorbe des neutrons mais en produit plus qu'elle n'en absorbe. La concentration en neutrons mobiles vérifie alors l'équation différentielle:
Que se passe-t-il si
d) Expliquer en quoi l'hypothèse considérant
3- On étudie la diffusion unidimensionnelle des neutrons dans un barreau de matière fissile. Deux phénomènes se produisent dans la matière fissile : la réaction de fission absorbe des neutrons mais en produit plus qu'elle n'en absorbe. La concentration en neutrons mobiles vérifie alors l'équation différentielle:
Que se passe-t-il si