Petites Mines Physique Chimie PCSI 2000

Le satellite Hipparcos lancé le 8 Août 1987 était constitué principalement d'un télescope de 30 cm de diamètre (étudié dans la partie B). Celui-ci a permis d'établir un catalogue des positions, distances et éclats de plus de 118000 étoiles avec une précision jamais atteinte.
Ce satellite devait être placé sur une orbite géostationnaire à une altitude H=36 000 km . Un problème de mise à feu du moteur d'apogée a laissé Hipparcos sur son orbite de transfert son altitude variant entre h et H. Après utilisation des moteurs de positionnement, l'altitude minimale a été portée à h . Une programmation du satellite a permis de s'affranchir des problèmes liés à cette orbite.
Au cours d'une révolution, il passe dans la ceinture de Van Hallen. On supposera que cette ceinture est comprise entre deux sphères de rayon et de centre celui de la terre. La ceinture de Van Hallen est constituée de particules chargées piégées dans le champ magnétique terrestre. Ces particules aveuglent les détecteurs d'Hipparcos interrompant les mesures des positions des étoiles. Il est cependant utilisable à .
On assimile la terre à une sphère de centre O , de rayon et de masse M et le satellite à un point matériel ( ). On suppose le référentiel géocentrique Rgc galiléen. La période de rotation de la terre dans ce référentiel appelée jour sidérai vaut . On note la constante de gravitation, sa valeur numérique n'est pas utile dans ce problème.
A-1: Moment cinétique
A-I-1 : Montrer que le moment cinétique en O du satellite est une constante du mouvement.
A-I-2 : On utilise les coordonnées cylindriques (O, ) avec tel que .
Montrer que le mouvement est plan et exprimer en fonction de et .
Quelle est le nom de cette grandeur?

A-II-1 : Montrer que est une constante du mouvement ( étant la vitesse du satellite).
A-II-2 : On choisit l'origine de l'angle polaire pour avoir . Montrer que l'équation de la trajectoire peut se mettre sous la forme :
où e est la norme de .
En déduire la trajectoire du satellite.
A-III : Trajectoire d'Hipparcos
A-III-1 : Exprimer et calculer e et en fonction de et .
A-III-2 : Exprimer et calculer le demi-grand axe a de la trajectoire.
A-IV : Période d'Hipparcos
A-IV-1 : Enoncer sans démonstration la troisième loi de Kepler.
A-IV-2 : Exprimer la période Th de révolution d'Hipparcos en fonction de T, R, H et h. Calculer Then heure.
A-V : Ceinture de Van Hallen
A-V-1 : Dé terminer les valeurs numériques des angles d'entrée et de sortie de la ceinture de Van Hallen du satellite. On donnera les valeurs comprises entre 0 et .
A-V-2 : Représenter sur un schéma clair la trajectoire du satellite et l'aire A balayée par lors d'un passage dans la ceinture de Van Hallen.
Pour la question suivante, on prendra une valeur approchée de .
A-V-3: Déterminer le rapport en fonction de A et Ae (aire de l'ellipse) où est la durée totale d'inactivité d'Hipparcos sur une période. Commenter.
On donne l'aire de l'ellipse :

On propose de modéliser le télescope d'Hipparcos par un miroir concave de rayon avec un miroir plan de renvoi (voir figure B-I). On note le sommet du miroir concave. La lumière subit deux
réflexions et passe par un orifice dans le miroir concave pour atteindre le détecteur. Il est constitué d'une grille et de cellules CCD permettant de repérer la position de l'image. La grille comporte fentes équidistantes de .

B-I : On considère une étoile visée dans la direction . L'axe est orienté vers l'étoile.
B-I-1 Déterminer l'abscisse de l'image de l'étoile E par le miroir .
B-I-2 On note a la distance séparant le miroir plan et le sommet du miroir concave. Déterminer une condition sur a pour que l'image finale se forme sur le détecteur placé à l'arrière du miroir concave.

B-I-3 Déterminer la largeur angulaire du champ observé. Calculer en degré.
B-II : En réalité Hipparcos réalise une mesure de position relative des étoiles. Le télescope vise deux directions symétriques par rapport à Sx présentant un angle . Ainsi on obtient avec une grande précision l'angle entre deux étoiles. C'est un système de deux miroirs plans qui permet d'obtenir les images des deux étoiles sur le détecteur (voir figure B-II). Le télescope tourne autour d'un axe de direction Sz avec une période minutes. On supposera que la direction est fixe bien que cet axe se déplace lentement afin de viser toute la sphère céleste.

B-II-1 Déterminer l'angle des miroirs et avec l'axe Sx du télescope.
B-II-2 Déterminer le déplacement angulaire d'un rayon lumineux réfléchi par le miroir lorsque le satellite tourne d'un angle . Préciser le sens de déplacement des rayons réfléchis par et .

B-II-3 Quelle est la norme V de la vitesse de déplacement des images sur le détecteur?

Une centrale thermique permet la production d'électricité à partir de la combustion de fuel ou de charbon. L'eau subit différentes transformations (décrites ci-dessous) afin de produire un travail mécanique transformé en énergie électrique grâce à un couplage de la turbine avec un alternateur (voir figure C).

Pour faire l'analyse de cette centrale, vous utiliserez le diagramme thermodynamique ( ) de l'eau fourni en page 15/16. Il est constitué de réseaux de courbes isenthalpiques et isobares. La courbe en "cloche" est constituée de la courbe de rosée et d'ébullition. L'eau liquide étant peu compressible, on pourra confondre les points A et B .

C-I : État de l'eau au cours du cycle
C-I-1 Placer les points et sur le diagramme. Vous donnerez les explications nécessaires.
C-I-2 En déduire l'état de l'eau en , la température de l'eau en et la fraction massique de vapeur au point D .

C-I-3 Déterminer l'enthalpie massique et aux points et D .
C-II : Bilan énergétique
C-II-1 Déterminer et les transferts thermiques reçus par unité de masse d'eau au cours des transformations isobares BC et DA .

C-II-2 En déduire le travail w reçu par unité de masse d'eau au cours d'un cycle et le rendement thermodynamique de la centrale.

C-II-3 Quel est le débit en masse d'eau d nécessaire pour avoir une centrale délivrant une puissance 250 MW ?

C-III : Cycle à deux étages
Pour éviter la présence de vapeur d'eau dans la turbine à cause d'une détente trop importante, on utilise deux turbines. On propose donc un cycle plus proche de la réalité :

Les détentes sont toujours supposées adiabatiques réversibles.
C-III-1 Tracer le cycle de l'eau sur le diagramme ( ) En déduire et .

C-III-2 Déterminer et les transferts thermiques reçus par unité de masse d'eau au cours des transformations et .

C-III-3 En déduire le travail w reçu par unité de masse d'eau sur un cycle et le rendement thermodynamique .