.
La dernière page (feuille annexe) est à découper et à joindre à la copie.
Les candidats sont invités à porter une attention particulière à la rédaction : les copies illisibles ou mal présentées seront pénalisées.

Les candidats colleront sur leur première feuille de composition l'étiquette à code barre correspondante.

Toute application numérique ne comportant pas d'unité ne donnera pas lieu à attribution de points.

Les différents exercices sont indépendants et peuvent être traités dans l'ordre choisi par le candidat. Il prendra toutefois soin de bien numéroter les questions.

Physique

A. Optique

Définir le stigmatisme et l'aplanétisme d'un système optique centré.
On considère un miroir sphérique concave de centre et de sommet .

Un objet

assimilable à un segment est placé perpendiculairement à l'axe optique, l'extrémité

étant située sur cet axe.
Construire, dans le cadre de l'approximation de Gauss, l'image

sur la première figure donnée en annexe. La construction s'effectuera à l'aide de deux rayons émis par

, l'un passant par

, l'autre par

et on justifiera la trajectoire de chacun.
3) Établir à l'aide de cette construction les formules suivantes de conjugaison avec origine au sommet :

En déduire l'existence d'un foyer objet et d'un foyer image et préciser leurs positions relatives par rapport à et .

On considère à présent le télescope de Cassegrain constitué de deux miroirs sphériques

. Le miroir

est concave avec une ouverture à son sommet

est convexe, sa face réfléchissante tournée vers celle de

.
On observe à travers ce télescope un objet

dont l'extrémité

est située sur l'axe optique. L'objet étant très éloigné les rayons issus de

qui atteignent le miroir

sont quasiment parallèles et forment avec l'axe optique l'angle

. Après réflexion sur

, ces rayons se réfléchissent sur

et forment une image finale

située au voisinage de

5) Effectuer les constructions géométriques des images intermédiaires

par

et finale

sur la deuxième figure donnée en annexe.
6) On désigne par

les distances focales comptées positivement, des deux miroirs

et par

la distance séparant les deux miroirs.
Exprimer

en fonction de

pour que l'image finale

soit située dans le plan de

. Simplifier cette expression lorsque

.
7) Déterminer dans ces conditions, la taille de l'image intermédiaire

en fonction de

. En déduire celle de l'image finale

en fonction de

.
Simplifier cette expression lorsque

.
8) Application numérique :

Calculer

pour

B. Électricité

Un circuit électrique est composé d'une résistance

, d'une bobine d'inductance pure

et d'un condensateur de capacité

. Ces dipôles sont disposés en série et on soumet le circuit à un échelon de tension

de hauteur

tel que

Les choix du sens du courant

dans le circuit et de la plaque portant la charge

du condensateur sont donnés sur la figure ci-dessous.
On pose

9) Expliquer simplement pourquoi à

la charge

et le courant

sont nuls.
10) Établir l'équation différentielle vérifiée par la charge

du condensateur pour

Préciser, en les justifiant soigneusement, les valeurs initiales de la charge

et de sa dérivée

Le circuit présente différents régimes suivant les valeurs de

.
On suppose, dans la suite, la condition

réalisée.
11) Montrer que l'expression de la charge pour

peut se mettre sous la forme

où on déterminera

en fonction de

.
12) Exprimer le courant

dans le circuit pour

en fonction de

.
13) Donner l'allure des courbes

Quelles sont leurs valeurs à la fin du régime transitoire?
Justifier par des considérations simples ces valeurs atteintes.
14) Déterminer l'énergie totale

fournie par le générateur ainsi que l'énergie

emmagasinée dans la bobine et le condensateur à la fin du régime transitoire en fonction de

.
En déduire l'énergie dissipée par effet Joule dans la résistance.
Ces résultats dépendent-ils du régime particulier dans lequel se trouve le circuit?
Interpréter le résultat paradoxal qui apparaît dans le cas limite

C. Mécanique

Une station spatiale est sur une orbite circulaire autour de la Terre. Son mouvement est étudié dans le référentiel géocentrique

, d'origine

considéré comme galiléen. La station est, dans cette partie, assimilée à un point

de masse

, repéré par le rayon vecteur

.
15) Énoncer le principe d'inertie en rappelant la définition d'un référentiel galiléen.

Définir le référentiel géocentrique.
Sur quelle échelle de temps ce référentiel peut-il être considéré comme approximativement galiléen?
16) Définir le moment cinétique

de la station

par rapport à l'origine

du référentiel. Montrer que ce vecteur forme une constante du mouvement.
17) Déduire que le mouvement du satellite s'effectue dans un plan que l'on définira à partir de

.
18) Montrer d'autre part, que le mouvement circulaire du satellite s'effectue avec un vecteur vitesse angulaire

constant et dirigé suivant

.
19) Exprimer

en fonction de la masse de la Terre,

, de la constante de gravitation universelle,

et du rayon

.
20) La station spatiale internationale en construction depuis 1998 est située à une altitude d'environ 400 km .
Calculer sa période de rotation

.
Données : Rayon terrestre moyen

.
Accélération de la pesanteur à la surface du globe

.
La station spatiale est en rotation synchrone autour de la Terre; elle tourne sur elle-même avec un vecteur vitesse angulaire identique à celui de son mouvement orbital,

.
On désigne par

le référentiel lié à la station. L'origine de ce référentiel est situé au centre de masse,

, de la station. L'axe

est dirigé suivant

, l'axe

est porté par le moment cinétique

et l'axe

complète le trièdre orthonormé.
Dans ce référentiel, un corps ponctuel

, de masse

, est en mouvement dans le plan

. Il est repéré dans la station par le rayon vecteur

21) Pourquoi le référentiel

n'est-il pas galiléen?
22) Définir le point coïncident à

et donner son accélération

en fonction de

. En déduire la force d'inertie d'entraînement

exercée sur la masse

dans

.
23) Si la particule

est animée d'une vitesse

dans

, quelle force d'inertie supplémentaire lui est appliquée?
Exprimer cette force en fonction de

.
La particule se trouvant dans le voisinage proche de la station, l'inégalité

sera toujours vérifiée dans la suite du problème.
24) À l'aide d'un développement limité arrêté au premier ordre en

, montrer que la force d'attraction gravitationnelle qu'exerce la Terre sur le corps

s'écrit

où

est le vecteur unitaire porté par l'axe

et (

) sont les coordonnées de

dans

. On rappelle que

lorsque

.
25) Le corps

est une balle qu'un cosmonaute lance en direction de la Terre avec la vitesse relative

dans

depuis l'origine

de ce référentiel.
Établir l'équation du mouvement dans

de la balle sous la forme de deux équations différentielles pour les variables

.
26) Intégrer ces équations, montrer que la trajectoire suivie est une ellipse et déterminer sa période de parcours.

D. Pompe à chaleur

Une pompe à chaleur effectue le cycle de Joule inversé suivant :

L'air pris dans l'état de température et de pression est comprimé suivant une adiabatique quasi statique (ou réversible) jusqu'au point où il atteint la pression .
Le gaz se refroidit à pression constante et atteint la température finale de la source chaude, , correspondant à l'état .
L'air est ensuite refroidi dans une turbine suivant une détente adiabatique quasi statique (ou réversible) pour atteindre l'état de pression .
Le gaz se réchauffe enfin à pression constante au contact de la source froide et retrouve son état initial .

On considère l'air comme un gaz parfait de coefficient isentropique

.
On posera

.
Pour les applications numériques, on prendra:

Représenter le cycle parcouru par le fluide dans un diagramme de Clapeyron .
Exprimer les températures et en fonction de et .

Calculer leurs valeurs.
29) Définir l'efficacité

de la pompe à chaleur à partir des quantités d'énergie échangées au cours du cycle.
Montrer qu'elle s'exprime seulement en fonction de

.
Calculer sa valeur.
30) Quelles doivent être les transformations du fluide si on envisage de faire fonctionner la pompe à chaleur suivant un cycle de Carnot réversible entre les températures

?
Établir l'expression de son efficacité

en fonction de

.
Calculer sa valeur.
31) Comparer les valeurs obtenues pour

Interpréter la différence observée.
32) Donner l'expression de l'entropie créée,

, pour une mole d'air mise en jeu dans le parcours du cycle de Joule inversé, en fonction de

.
Étudier le signe de cette expression pour

.
Calculer sa valeur.
33) La pompe à chaleur envisagée est utilisée pour chauffer une maison.

Sachant qu'en régime permanent les fuites thermiques s'élèvent à

, calculer la puissance mécanique du couple compresseur-turbine qui permet de maintenir la maison à température constante.

Chimie : autour des oxydes d'azote

Les oxydes d'azote sont souvent considérés comme des molécules nuisibles. Le monoxyde d'azote NO et le dioxyde d'azote

par exemple, sont des gaz toxiques qui contribuent largement à la pollution atmosphérique. Produit dans les moteurs à combustion interne, le monoxyde d'azote s'oxyde rapidement dans l'air en dioxyde d'azote. Ces rejets dans l'atmosphère sont à l'origine de la pollution photochimique, de la formation des pluies acides et de la destruction de la couche d'ozone.
La molécule de NO n'a cependant pas que des effets indésirables. Des découvertes récentes en médecine ont montré ses implications dans un très vaste domaine de fonctions biologiques telles que le contrôle de la circulation sanguine, la régulation de l'activité du cerveau ou celui du système immunitaire.

E. Structures électroniques

Donner les structures électroniques des atomes d'azote, et d'oxygène, , dans leur état fondamental. Lequel de ces deux éléments est le plus électronégatif?
Le diazote, , constituant principal de l'atmosphère, est un gaz incolore. Donner la structure de Lewis de cette molécule.
Sachant que la molécule de protoxyde d'azote, , possède un moment dipolaire , montrer qu'aucune des deux formes de Lewis suivantes de la molécule ne peut rendre compte à elle seule de la valeur de son moment dipolaire.

Expliquer alors pourquoi, la structure réelle de la molécule est représentée par une superposition des deux formes précédentes.
Données : les longueurs des liaisons dans la molécule sont proches de 120 pm , la charge élémentaire

F. Solutions aqueuses et oxydo-réduction

Donner le nombre d'oxydation de l'azote dans chacun des oxydes d'azote suivants : , et NO .

Équilibre acido-basique

L'acide nitreux,

, et l'ion nitrite,

, forment un couple acido-basique de

.
38) Écrire l'équation bilan de la réaction d'équilibre acido-basique de l'acide nitreux sur l'eau. Exprimer sa constante d'équilibre en fonction des concentrations des espèces mises en jeu.
39) Donner le diagramme de prédominance de

en fonction du

.
40) Lors du dosage par conductimétrie de l'acide nitreux par de la soude concentrée, on observe, avant le point d'équivalence, une croissance quasi linéaire de la conductivité en fonction du volume de soude versé, puis, après l'équivalence, une autre variation linéaire plus importante que la précédente. Interpréter ces faits.

Équilibre de dismutation de

Écrire la demi-équation de transfert électronique et relation de Nernst correspondante pour le couple oxydo-réducteur .
En présence d'eau le dioxyde d'azote peut se dismuter en ions nitrates, et en nitrites suivant la réaction

Équilibrer l'équation bilan de cette réaction de dismutation.
Exprimer sa constante de réaction

en fonction de la pression partielle,

en bar, du dioxyde d'azote et des concentrations des espèces en solution aqueuse.
Calculer, à partir des données, la valeur de

.
Cette réaction est à l'origine de la formation des pluies acides.
43) Une atmosphère de pression totale 1 bar, chargée en dioxyde d'azote, se trouve en équilibre avec une eau de

, l'acidité provenant de la réaction de dismutation de

dans l'eau. Déterminer la pression partielle,

en bar, du dioxyde d'azote. En déduire la fraction molaire,

, du dioxyde d'azote contenue dans l'atmosphère.
Données :

à .
Potentiels standards d'oxydo-réduction à et :

Conductivités limites molaires ioniques à en :

G. Cinétique de décomposition du tétroxyde d'azote

Le tétroxyde d'azote se décompose en phase gazeuse en dioxyde d'azote suivant la réaction globale

En supposant que la réaction corresponde à un acte élémentaire, indiquer l'influence de la concentration sur la vitesse de décomposition.
Déterminer, dans cette hypothèse, l'expression théorique de la concentration dans le réacteur en fonction du temps , de la concentration initiale et de la constante de vitesse de la réaction.

En réalité, il apparaît que la vitesse de réaction dépend non seulement de la concentration en réactif mais aussi de la concentration totale des espèces gazeuses présentes dans l'enceinte ou, ce qui revient au même, de la pression totale.
Ceci se manifeste, en particulier, par un changement de l'ordre global de la réaction qui peut passer de un à deux lorsque la pression totale

varie.
Ce comportement assez fréquent dans les réactions unimoléculaires en phase gazeuse s'explique à l'aide du mécanisme de Lindemann-Hinshelwood suivant

Dans ces différentes étapes

désigne une molécule quelconque (réactif, produit ou toute autre espèce gazeuse présente dans l'enceinte).

est une molécule de tétroxyde d'azote qui a acquis suffisamment d'énergie par collision pour pouvoir se décomposer.
45) Donner l'expression de la vitesse d'apparition de l'intermédiaire réactionnel

. Déterminer sa concentration,

, à l'aide du principe de l'état quasi stationnaire, en fonction de

.
46) Montrer que la vitesse de réaction se met sous la forme

où

est la constante de réaction unimoléculaire que l'on exprimera en fonction de

.
47) Donner, à faible pression (

), l'expression approchée

en fonction de

. Quelle est la molécularité de la réaction globale?
Inversement, à haute pression (

), déterminer l'expression

. Que devient la molécularité de la réaction globale?
Interpréter simplement ces résultats.

H. Thermochimie

L'oxydation du diazote en monoxyde d'azote s'effectue à haute température suivant la réaction

La variation d'enthalpie qui accompagne cette réaction est

à 298 K , sous la pression standard de 1 bar.
48) Quel nom porte la grandeur

?
49) Quelles sont les conditions thermodynamiques qui doivent être réunies pour que

corresponde à une quantité de chaleur échangée?
Préciser alors si la réaction est endothermique ou exothermique.
50) Justifier à l'aide de la loi de Kirchhoff le fait que

ne dépende que très faiblement de la température (moins de

par degré à 298 K ).
On considérera les capacités thermiques molaires à pression constante des gaz diatomiques voisines de

.
51) L'enthalpie standard de formation du dioxyde d'azote étant de

, calculer l'enthalpie standard

de la réaction d'oxydation du monoxyde d'azote en dioxyde d'azote

Fin de l'épreuve

Code candidat :

Annexe

Figures à compléter en réponse aux questions 2) et 5) de l'exercice A. de Physique.