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Petites Mines Mathématiques Sup 2010

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2010
Filière
SUP
Matière
Maths
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CONCOURS COMMUN 2010
DES ECOLES DES MINES D'ALBI, ALES, DOUAI, NANTES

Epreuve de Mathématiques
(toutes filières)

Lundi 17 mai 2010 de 14 h 00 à 18 h 00

Instructions générales :

Les candidats doivent vérifier que le sujet comprend 4 pages numérotées .
Les candidats sont invités à porter une attention particulière à la rédaction : les copies illisibles ou mal présentées seront pénalisées.
Les candidats colleront sur leur première feuille de composition l'étiquette à code barres correspondant à l'épreuve commune de Mathématiques.

L'emploi d'une calculatrice est interdit

Remarque importante :

Si au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre.

PREMIER PROBLEME :

PARTIE I :

On considère la fonction définie par la relation .
  1. Déterminer l'ensemble de définition D de .
  2. Donner le développement limité de au voisinage de 0 à l'ordre 2 .
Montrer que admet en 0 un prolongement par continuité. On précisera par quelle valeur est alors prolongée et on continuera à appeler le prolongement ainsi obtenu. On appellera le nouvel ensemble de définition de .
3) est-elle dérivable en 0 ? Si oui, préciser .
Calculer sur D puis prouver que est de classe sur .
4) Etudier les variations de . On dressera son tableau de variations.
On pourra utiliser la fonction auxiliaire k définie par : .
5) On considère la courbe définie en coordonnées polaires par : .
a) Préciser l'allure de lorsque ainsi que le coefficient directeur de la tangente au point de paramètre .
b) On pose . Déterminer . On admet que le résultat de ce calcul prouve que admet une asymptote d'équation lorsque et on ne demande pas de justifier cette propriété.
c) Tracer l'allure de la courbe . On fera apparaître la tangente et l'asymptote évoquées ci-dessus.

PARTIE II :

Dans la suite, on s'intéressera à l'intégrale suivante : .
On notera L la valeur de cette intégrale mais on ne cherchera pas à calculer cette valeur.
Pour tout entier naturel n non nul on définit les polynômes

et .
6) Préciser pourquoi l'intégrale précédente est bien définie.
7) Justifier : .
8) En déduire: .
Dans toute la suite on notera: .
9) Etablir la majoration : .
10) Comparer pour tout et .
11) En notant l'application définie pour tout x de par et par , montrer : .
En déduire .
12) Déterminer un entier naturel N tel que approxime L à près.

PARTIE III :

On s'intéresse à présent aux dérivées successives de , que l'on note .
13) Montrer que est indéfiniment dérivable sur .
14) Calculer sur .
15) Montrer que pour tout entier naturel n non nul il existe un polynôme à coefficients réels et un réel tels que :
.
16) Montrer que tous les coefficients de sont des entiers.
17) En utilisant la formule de Leibniz, calculer et en déduire la valeur de .
On ne cherchera pas à expliciter une expression de chacun des coefficients de de ce polynôme.
Vérifier cette expression pour .

SECOND PROBLEME :

Le but de ce problème est d'étudier différentes matrices qui commutent avec leur transposée, c'est-à-dire qui vérifient la relation : (1)
Dans la suite de l'énoncé, on se contentera alors de dire dans ce cas que la matrice vérifie la relation (1).

PARTIE I :

Dans toute cette partie, toutes les matrices envisagées seront dans l'espace , c'est-à-dire ayant 2 lignes, 2 colonnes et des coefficients réels.
On notera en particulier : et
  1. Montrer que les matrices et vérifient la relation (1).
  2. Calculer . En déduire que pour tout entier naturel non nul vérifie la relation (1).
  3. Montrer que est inversible.
Soit l'unique endomorphisme de dont la matrice relative à la base canonique est .
4) Préciser les valeurs de et en fonction de et .
Montrer que est une symétrie. Préciser l'ensemble de ses vecteurs invariants.
Dans toute la suite on notera .
5) Montrer que la matrice vérifie la relation (1). Montrer : .
En déduire que toutes ses puissances vérifient (1).
On notera dans la suite l'ensemble des matrices de qui vérifient la relation (1).
6) Calculer les produits de la matrice et de sa transposée.
En déduire que n'est pas un sous-espace vectoriel de .
7) Etant donnée une matrice quelconque de , déterminer les conditions nécessaires et suffisantes sur et pour que appartienne à . On donnera les deux formes possibles des matrices de .
8) En déduire que est la réunion de deux sous-espaces vectoriels de , dont on précisera pour chacun une base.
9) Etant données et deux matrices de , a-t-on nécessairement ? On pourra utiliser certaines matrices introduites précédemment dans l'énoncé.

PARTIE II :

On se place ici dans l'espace , et on considère la base canonique de que l'on note .
On définit alors comme l'unique endomorphisme de vérifiant : ainsi que .
L'ensemble des matrices de qui commutent avec leur transposée (donc qui vérifient la relation (1)) est noté .
10) Représenter la matrice .
11) Déterminer et montrer que et sont dans .
12) Montrer que pour tous réels , b et , la matrice appartient à .
13) En déduire que contient un espace vectoriel de dimension 3 que l'on notera .
14) Montrer que est stable par multiplication matricielle.

PARTIE III :

On se place à présent dans l'espace , et on considère la base canonique de que l'on note .
On définit la matrice
où est un réel quelconque, et on appelle l'unique endomorphisme de tel que " .
L'ensemble des matrices de qui commutent avec leur transposée (donc qui vérifient la relation (1)) est noté .
15) Déterminer les réels tels que .
Dans toute la suite on pose .
16) Déterminer une base de et de .
17) Calculer . Que remarque-t-on?
18) Calculer et . Commenter le résultat obtenu.
19) On note et on admet sans démonstration que est une base de .
Déduire des questions précédentes .
En déduire l'existence d'une matrice que l'on précisera telle que , où est une matrice diagonale. On ne demande pas d'expliciter la matrice .
20) Montrer : . En déduire une expression simple de et pour tout entier naturel en fonction de et .
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