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Petites Mines Mathématiques Sup 2002

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Fonctions (limites, continuité, dérivabilité, intégration)Algèbre bilinéaire et espaces euclidiensAlgèbre linéaireNombres complexes et trigonométrie, calculs, outils

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CONCOURS COMMUN SUP 2002 DES ÉCOLES DES MINES D'ALBI, ALÈS, DOUAI, NANTES

Épreuve de Mathématiques
(toutes filières)
Mardi 21 mai 2002 de 14 h00 à 18 h00

Instructions générales:
Les candidats :

doivent vérifier que le sujet comprend 4 pages numérotées et ,
sont invités à porter une attention particulière à la rédaction : les copies illisibles ou mal présentées seront pénalisées,
colleront sur leur première feuille de composition l'étiquette à code à barres correspondante.

Problème d'Analyse

Soit l'application de dans définie par: et .
1.1 Montrer que est continue sur et paire.
1.2 Donner le développement limité à l'ordre 1 de au voisinage de 0 . En déduire que est dérivable en 0 , et donner .
1.3 Justifier que est dérivable sur , et calculer , pour .
1.4 A l'aide d'une intégration par parties, montrer que: .

En déduire le sens de variation de

.
1.5 Tracer la courbe représentative de f dans un repère orthonormé (unité : 2 cm ).
(On ne demande pas l'étude des points d'inflexion)
2. Soit

l'application de

dans

définie par:

.
2.1 Montrer que

est continue sur

et paire.
2.2 Montrer que:

. (on pourra commencer par supposer

)
2.3 Montrer que:

Montrer que

est dérivable en 0 , avec

. Donner les variations de

.
2.4 Montrer que:

. En déduire que

.
2.5 Tracer la courbe représentative de

dans le mêmé repère que celle de

.
(On ne demande pas l'étude des points d'inflexions)
3. Soit (

) la suite définie par

et pour tout

, où

est l'application du 2).
3.1 Montrer que:

.
3.2 Montrer que, pour tout

strictement positif :

. (On pourra utiliser 2.2 et 2.3). En déduire que, pour tout

strictement positif :

, et que cette inégalité reste vérifiée pour tout

.
3.3 Montrer que l'équation :

admet une unique solution. On note

cette solution. Montrer que

.
3.4 Prouver que:

En déduire que (

) est convergente, et préciser sa limite.
4. On considère l'équation différentielle :

.
4.1 Résoudre cette équation différentielle sur

et sur

.
4.2 Montrer que

est l'unique solution sur

de cette équation différentielle.

Problème d'Algèbre

Dans ce problème,

désigne un espace vectoriel euclidien de dimension trois,

une base orthonormée de

. La norme de

est notée

. #. On note

l'ensemble des endomorphismes de

l'ensemble des automorphismes de

l'application identique de

le vecteur nul de

désigne un espace affine euclidien associé à

un repère orthonormé de

Soit l'endomorphisme de dont la matrice relativement à est .
1.1 Montrer que est un demi-tour dont on précisera l'axe .
1.2 En déduire que est la composée commutative de deux endomorphismes simples de que l'on précisera.
On note l'ensemble des endomorphismes de pour lesquels :

2.1 Montrer que

appartient à

.
2.2

appartient-il à

?
2.3 Montrer que

est stable pour o.

est-il un sous-groupe de

?
2.4 Soit

un élément de

. Montrer que

. En déduire que

appartient à

.
2.5 Montrer que

si et seulement si

.
2.6 Soit

. On suppose qu'il existe une base orthonormée de

dans laquelle la matrice de

est diagonale, à éléments diagonaux sírictement inférieurs a i en valeur absolue. Montrer que

.
3. Soit

l'endomorphisme de

dont la matrice relativement à

est

.
3.1 On définit :

Vérifier que (

) est une base orthonormée

.
3.2 Déterminer la matrice de

dans la base

. En déduire que

.
4. Soit

l'endomorphisme de

dont la matrice relativement à

est

. On se propose de prower que

si et seulement si

.
Soit

un vecteur de

de norme 1 .
4.1 Montrer que:

.
4.2 Le vecteur

s'écrit, dans la base

Montrer que :

. En déduire que :

.
Déterminer l'ensemble des

de norme 1 pour lesquels l'inégalité précédente est une égalité.
4.3 Montrer que

si et seulement si

.
5. Soit

une application affine de

dans

dont l'endomorphisme associé

appartient à

.
5.1 Soit

un point de

. Montrer que

est invariant par

si et seulement si

.
5.2 En déduire que

admet un point invariant et un seul, que l'on note

.
5.3 Justifier l'égalité :

.
5.4 On définit la suite (

) de points de

par

. 5.4.1 Montrer que

.
5.4.2 Soient

les suites réelles définies par :

, yo et

sont des réels, et :

.
Montrer que

sont convergentes, et préciser leurs limites respectives.

Petites Mines Mathématiques Sup 2002

CONCOURS COMMUN SUP 2002 DES ÉCOLES DES MINES D'ALBI, ALÈS, DOUAI, NANTES

Épreuve de Mathématiques (toutes filières) Mardi 21 mai 2002 de 14 h00 à 18 h00

Problème d'Analyse

Problème d'Algèbre

Épreuve de Mathématiques
(toutes filières)
Mardi 21 mai 2002 de 14 h00 à 18 h00