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Petites Mines Mathématiques (Option) MPSI 2010

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Algèbre généraleAlgèbre linéaireGéométrieFonctions (limites, continuité, dérivabilité, intégration)Intégrales à paramètres
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Année
2010
Filière
MPSI
Matière
Maths
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CONCOURS COMMUN 2010
DES ÉCOLES DES MINES D'ALBI, ALÈS, DOUAI, NANTES

Épreuve spécifique de Mathématiques
(filière MPSI)

Mardi 18 mai 2010 de à 12h00

Instructions générales :

Les candidats doivent vérifier que le sujet comprend 4 pages numérotées et .
Les candidats sont invités à porter une attention particulière à la rédaction : les copies illisibles ou mal présentées seront pénalisées.
Les candidats colleront sur leur première feuille de composition l'étiquette à code à barres correspondante.

L'emploi d'une calculatrice est interdit

Remarque importante :

Si au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre.

Les deux problèmes sont indépendants. Barème indicatif : même poids pour chaque problème.

PROBLÈME 1

Rappels et notations : Si et sont des réels avec désigne .
Par convention, on pose si , et . Avec ces conventions, l'application est continue sur si .
Dans tout le problème 1 , on pose pour et réels de .
Les graphes demandés seront tracés dans muni du repère orthonormé usuel avec , et .

Étude de courbes paramétrées

Dans cette partie, et sont des réels fixés de .
On se propose d'étudier l'arc paramétré avec et définie sur par :
où et .
  1. Quel est le support de si ?
  2. Quel est le lien géométrique entre les supports de et de ?
  3. Étudier les variations de l'application sur .

Dans toute la suite de cette partie, on suppose que .

  1. Calculer pour .
  2. Que peut-on en déduire pour le support de privé de ?
  3. Donner le tableau de variations de sur .
  4. Préciser l'allure locale au voisinage de et de du support de et illustrer ces allures locales par un schéma.
  5. Montrer que le développement limité au voisinage de à l'ordre 3 pour est de la forme :
où et sont des réels que l'on exprimera en fonction de .
9) En déduire l'allure locale du support de au voisinage de . On précisera un vecteur directeur de la tangente en ce point.
10) Tracer l'allure du support de .

Fonction définie par une intégrale

Dans cette partie on pose, pour .
11) Calculer et .
12) Sans utiliser de dérivée, montrer que est croissante sur .
13) Montrer que si et sont dans avec :
  1. En déduire que est continue sur .
  2. Montrer que pour , on a .
  3. En majorant l'intégrale , en déduire que .
  4. À l'aide d'une intégration par parties, montrer que pour :
  1. Déterminer la pente de la demi-tangente au point d'abscisse 0 pour la courbe représentant .
  2. Esquisser l'allure de la courbe représentative de sur .
  3. En utilisant l'expression de la question 15) et une intégration par parties, trouver un équivalent de au voisinage de .

PROBLÈME 2

Définitions et notations : on désigne par l'ensemble des nombres premiers : . Si et sont deux entiers naturels, on note lorsque divise .
On désigne par l'ensemble des matrices carrées de taille 3 à coefficients réels. On note la matrice identité de .
Si , le réel est appelé trace de et noté .
Les parties de ce problème sont dépendantes mais le candidat pourra admettre les résultats qui y sont montrés pour aborder une partie suivante.

Théorème de Fermat

  1. Soit et soit entier avec . Montrer que :
et en déduire que :
  1. Montrer que :
On pourra raisonner par récurrence sur .
On note, pour dans le déterminant de et on admettra que si est à coefficients entiers, est un entier.
23) Montrer que les matrices de à coefficients entiers qui vérifient
sont exactement les matrices non inversibles à coefficients entiers.

Étude d'un ensemble de matrices

On note l'ensemble :
  1. Montrer que est un -espace vectoriel. Quelle est la dimension de cet espace ?
  2. Montrer que est un anneau commutatif.
Dans la suite de ce problème, on désigne par la matrice : .
26) Justifier que ( ) est une base de .
27) Exprimer en fonction de et .

Étude d'une suite

Dans cette partie, on désigne par la suite définie par :
On se propose de montrer que .
On pose, pour .
28) Justifier, pour , l'existence de et .
29) Trouver une relation de récurrence vérifiée par la suite ( ) seule et deux relations de récurrence liant les suites et .
30) En déduire, pour dans en fonction de .
31) Pour , on appelle le nombre complexe avec .
Exprimer en fonction de et montrer que .
32) Retrouver ce dernier résultat en trouvant une relation de récurrence vérifiée par la suite .
33) Justifier que :
  1. Montrer que :

Étude d'un coefficient

Dans cette partie, on pose et .
On munit de son produit scalaire usuel :
si et sont dans , on pose ( ) = .
Si est un endomorphisme de , on pose .
35) Montrer que ( ) est une base de notée .
Jusqu'à la fin de ce problème, désigne un endomorphisme de , dont la matrice dans la base est :
où et sont des entiers naturels.
36) Que vaut et plus généralement pour ?
37) On suppose que :
En utilisant la question 22), montrer que est nul.
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