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Petites Mines Mathématiques (MPSI) Sup 2000

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Algèbre linéaireFonctions (limites, continuité, dérivabilité, intégration)Equations différentiellesNombres complexes et trigonométrie, calculs, outils
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2000
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SUP
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Maths
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CONCOURS COMMUN SUP 2000 DES ÉCOLES DES MINES D'ALBI, ALÈS, DOUAI, NANTES

Épreuve de Mathématiques
(toutes filières)
Lundi 22 mai 2000 de 14 h 00 à 18 h 00

Instructions générales :

Les candidats sont invités à porter une attention particulière à la rédaction : les copies illisibles ou mal présentées seront pénalisées.

ANALYSE

Partie I : Étude de la fonction réciproque de la fonction .
On notera respectivement cosh, sinh et tanh les fonctions cosinus hyperbolique, sinus hyperbolique et tangente hyperbolique définies par :
    • Montrer, en étudiant ses variations, que tanh est une bijection de sur un intervalle de à préciser. On note artanh («argument tangente hyperbolique») sa réciproque.
    • Exprimer la dérivée de tanh en fonction de tanh.
    • Démontrer que artanh est impaire.
    • Démontrer que artanh est dérivable sur et calculer sa dérivée.
    • Exprimer artanh à l'aide de fonctions usuelles.
    • Déterminer un développement limité à l'ordre 5 de artanh en 0 .

Partie II : Étude d'une équation différentielle

Soit l'équation différentielle .
7. - Résoudre ( ) sur l'intervalle .

Partie III : Étude d'une équation fonctionnelle

Le but de cette partie est de résoudre le problème suivant :
déterminer les fonctions définies sur , à valeurs réelles et dérivables en 0 qui vérifient :
    • Déterminer les fonctions constantes solutions du problème posé.
    • Déterminer les valeurs possibles de si est solution.
    • Montrer que, si est solution, on a . (on pourra exprimer en fonction de .)
    • Montrer que si est solution, est aussi solution.
    • Montrer que tanh est solution du problème posé.
Dans les questions 13. à 17., on suppose que est une solution du problème posé, que et que n'est pas constante.
On considère , tel que et l'on définit la suite par: .
13. - Montrer que la suite est convergente et préciser sa limite.
14. - Établir une relation entre et ; en déduire que la suite ( ) garde un signe constant, puis étudier sa monotonie suivant le signe de .
15. - En utilisant les résultats des questions 13. et 14., aboutir à une contradiction.
16. - Que peut-on dire si l'hypothèse « » est remplacée par l'hypothèse « »?
17. - Conclusion?
Dans les questions 18. à 22., on suppose que est une solution du problème posé et que .
18. - En raisonnant par l'absurde et en considérant une suite du même type que celle des questions 13. à 17., montrer que: et .
On définit alors la fonction par : .
19. - Montrer que: .
20. - Montrer que est dérivable en zéro.
21. - Soit ; on définit la suite ( ) par: .
Montrer que ( ) est convergente et déterminer sa limite.
22. - En déduire que est linéaire.
23. - Déterminer toutes les fonctions solutions du problème posé.

ALGÈBRE

Les parties I, II et III sont, dans une large mesure, indépendantes.
Soit un entier naturel non nul.

Partie I :

On pose : , polynôme de .
    • Montrer que l'on peut écrire où est un polynôme de dont on précisera le degré, le coefficient dominant et le terme constant noté .
    • Déterminer les racines de dans . On posera et les autres racines seront mises sous forme trigonométrique.
      On pose .
    • Montrer, à l'aide d'un changement d'indice, que .
En déduire que, si , alors .
4. - Calculer de deux façons : . Puis, en déduire et enfin, .
5. - On pose . Déterminer la décomposition de en éléments simples sur .

Partie II :

On travaille dans un -espace vectoriel supposé non réduit au vecteur nul. désigne l'ensemble des endomorphismes de est l'application identité de et désigne l'application nulle.
Par convention : .
On étudie sur quelques cas particuliers, l'équation : où est l'inconnue.
6. - Déterminer les homothéties vectorielles qui sont solutions de l'équation proposée.
7. - En développant et déterminer les sommes et . (la notation désigne le coefficient binomial .)
8. - Si est une symétrie de , exprimer en fonction de et . En déduire les symétries de solutions de l'équation proposée.

Partie III :

On travaille dans ensemble des matrices carrées d'ordre 3 à coefficients dans .
désigne la matrice identité et la matrice nulle.
On pose où désigne la matrice .
9. - Montrer que est un sous-espace vectoriel de dont on précisera la dimension et une base ; vérifier que est stable pour le produit matriciel.
On cherche à résoudre l'équation matricielle , avec , matrice inconnue, dans .
On note le -espace vectoriel et la base canonique de .
Soient un élément de tel que l'endomorphisme de canoniquement associé à et , l'application identité de .
10. - Déterminer une base de .
11. - Déterminer une base de .
12. - Montrer que est une base de ; on la note .
13. - Déterminer la matrice de dans la base .
14. - On note la matrice de passage de à . Écrire et déterminer en précisant la méthode utilisée et en détaillant les calculs.
15. - Exprimer en fonction de et .
16. - Montrer que : est solution de l'équation () si et seulement si est solution de l'équation ().
17. - Déterminer toutes les matrices solutions de l'équation ().
18. - En déduire toutes les solutions de l'équation () dans .
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