Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

La lévitation acoustique

La lévitation acoustique consiste à maintenir de la matière en suspension au sein d'un milieu fluide ambiant, l'air par exemple, en opposant au poids de l'objet lévitant la force résultant de la pression de radiation d'ondes sonores intenses. La possibilité de mettre en lévitation des échantillons solides ou liquides, de faible masse, est maintenant bien établie, et des avancées récentes laissent entrevoir des applications concrètes de ce procédé.
En 2013, une équipe de chercheurs suisses

a mis au point un dispositif de lévitation acoustique permettant un transport contrôlé de petits objets. Ils sont ainsi parvenus à mélanger une goutelette d'eau et un granulé de café soluble. Cette expérience a priori ludique recèle en réalité des applications technologiques et industrielles extrêmement précieuses, telle que le contrôle de certains procédés chimiques ou biologiques.
En 2015, c'est une équipe de recherche sud-américaine

qui a mis au point un dispositif de lévitation acoustique permettant de transporter des objets avec une grande stabilité donc sans aucun risque d'en perdre le contrôle mécanique, ce qui intéresse particulièrement les secteurs sensibles du nucléaire et de la chimie, où la dangerosité de la matière transportée impose de prendre en compte les risques inhérents aux chocs ou à la dissémination.

Ce problème aborde le principe de la lévitation acoustique de manière simplifiée. Il comporte 2 parties largement indépendantes : la première modélise le phénomène de lévitation acoustique, alors que la seconde présente un dispositif de conversion d'énergie pouvant alimenter le transducteur générant les ondes sonores.

Les vecteurs seront surmontés d'un chapeau s'ils sont unitaires (

) et d'une flèche dans le cas général (

). Ainsi dans l'espace cartésien on notera

. À l'exception de

, tel que

, les nombres complexes seront soulignés.

Dans tout le problème, exprimer signifie donner l'expression littérale et calculer signifie donner la valeur numérique avec deux chiffres significatifs.

I. - La lévitation grâce à une onde sonore

Le dispositif de lévitation acoustique est présenté et modélisé sur la figure 1.
Un transducteur, de surface

, est en vibration au voisinage de la hauteur

à la vitesse

avec

. Il génère une onde sonore de fréquence

20 kHz supposée plane, harmonique, et progressive selon la verticale descendante. Cette onde est totalement réfléchie par une paroi fixe placée en

.
Le milieu de propagation est de l'air, supposé homogène et compressible. Il est caractérisé au

Figure 1 - À gauche : lévitation acoustique de particules de polystyrène expansé. À droite : schéma de principe du dispositif de lévitation acoustique.

repos (en l'absence d'onde sonore) par une masse volumique

uniforme. Les champs de température et pression sont eux aussi stationnaires; la température

étant en outre uniforme alors que la pression est une fonction de

soit

On suppose que la propagation est unidimensionnelle, de célérité

dans le milieu. Dans l'approximation acoustique, les champs de pression, masse volumique, et vitesse sont alors décrits respectivement par :

Les termes

sont perturbatifs : pour toutes les valeurs de

et de

concernées on a donc

. L'évolution du fluide mis en mouvement par l'onde sonore est supposée adiabatique et réversible. Le coefficient de compressibilité isentropique sera noté

et assimilé à une constante.

1- Rappeler les hypothèses de l'approximation acoustique. Sauf mention contraire, on suppose ces hypothèses vérifiées par la suite.

2 - On considère une particule fluide, de volume , mise en mouvement par le passage de l'onde sonore. Montrer que, dans l'approximation acoustique, son accélération peut s'écrire .
- Écrire, en projection sur , l'équation aux dérivées partielles obtenue en appliquant la relation fondamentale de la dynamique à une particule de fluide de volume et de masse . Que donne cette relation si la particule est au repos? Compte-tenu de cette seconde relation, déterminer finalement une équation aux dérivées partielles reliant les seules grandeurs et .
4 - Donner les expressions linéarisées des relations locales traduisant, d'une part la conservation de la masse, et d'autre part le caractère isentropique de l'évolution du fluide sous l'effet de l'onde acoustique.
- Montrer que le champ des vitesses vérifie une équation de propagation de la forme

Quel est le nom de cette équation? Exprimer

en fonction des paramètres pertinents.

- On note

la longueur d'onde associée au phénomène propagatif décrit à la question précédente. On suppose que les transferts thermiques dans le milieu sont de type diffusif. On note

la conductivité thermique de l'air et

sa capacité thermique massique à pression constante. Par un raisonnement en ordre de grandeur, montrer que l'hypothèse d'adiabaticité n'est valide que si la fréquence

de l'onde est inférieure à une valeur

que l'on exprimera, en fonction de

. Qu'en est-il dans le cadre de cette expérience?

- On note

la position de la membrane du transducteur au voisinage de

. Exprimer puis calculer l'amplitude

de vibration de

. On pourra prendre

8 - On s'intéresse à l'onde sonore résultante entre le transducteur et le réflecteur. Justifier la condition aux limites

- Déterminer complètement la vitesse

dans l'espace

et exprimer son amplitude maximale

en fonction de

10 - Déterminer les positions spatiales des maxima de vitesse en fonction de et d'un entier . Commenter ce résultat. Montrer que l'amplitude des maxima diverge pour certaines pulsations . En pratique, quels phénomènes limitent la valeur de ?

11- Exprimer la surpression

associée à

. On considère une bille, de rayon

et donc assimilable à un volume élémentaire sans influence sur la propagation de l'onde acoustique. Déterminer la résultante

des forces de pression s'exerçant sur la bille, ainsi que sa moyenne temporelle

. Le modèle étudié jusqu'à présent permet-il d'interpréter la lévitation de cette bille?

12- On règle dorénavant la valeur de

de manière à obtenir

. Pourquoi n'est-il plus possible de se placer dans l'approximation acoustique?

On pose maintenant :

où les termes d'indice 0 sont les grandeurs constantes au repos (en l'absence d'onde sonore), les termes d'indice 1 sont les solutions étudiées précédemment et les termes d'indice 2 sont des corrections d'ordre 2, résultant des termes non linéaires des équations aux dérivées partielles décrivant le phénomène.

- On admet que la surpression

est de la forme

où

est une fonction dont il n'est pas nécessaire de connaître l'expression.
Déterminer les valeurs des entiers

. Déterminer la moyenne temporelle

de la résultante des forces de pression qui s'exercent sur la bille.

14-Montrer, sans les déterminer explicitement, qu'il existe des positions d'équilibre tant que la masse volumique

de la bille reste inférieure à une valeur

dont on précisera l'expression. En vous appuyant sur une représentation graphique de la force moyenne

, discuter la stabilité des positions d'équilibre.

15- Calculer

et proposer une estimation de la masse maximale

d'une bille susceptible de léviter avec le dispositif présenté ici. Commenter les valeurs numériques.

- Comme on le voit sur la figure 1 le dispositif permet de faire léviter plusieurs objets. Quelle est la distance qui les sépare? Exprimer le nombre maximal de ces objets en fonction de

17- On observe que les objets en lévitation dans ce dispositif ont un petit mouvement d'oscillation de pulsation

au voisinage de leurs positions d'équilibre. Déterminer l'expression de

en fonction des paramètres du problème.

FIN DE LA PARTIE I

II. - Alimentation du transducteur

Pour générer les ondes sonores requises pour la lévitation acoustique, il est nécessaire d'alimenter le transducteur avec une alimentation alternative sinusoïdale de fréquence ajustable.
On dispose d'une source de tension continue de force électromotrice constante positive

et on utilise le montage de la figure 2 pour effectuer la conversion d'énergie souhaitée.

18 - Quel est le nom de ce convertisseur ? Citer deux exemples d'applications importantes de ce type

Figure 2 - Dispositif de conversion.

de dispositif.

19 - Le fonctionnement des interrupteurs permet d'obtenir, aux bornes de la charge, la tension en forme de créneaux à paliers nuls, représentée sur la figure 3. Présenter, sous la forme d'un tableau, les séquences possibles des états des interrupteurs et , dans cet ordre, permettant d'obtenir . Les états ouvert et fermé seront respectivement notés 0 et 1 . Sur une période , la durée totale de fermeture, ou d'ouverture, des chacun des interrupteurs est . En justifiant physiquement la réponse, que peut-on dire des états respectifs des interrupteurs de chacun des couples ( ) et ( ).

Figure 3 - Tension

aux bornes de la charge.

Le developpement en série de Fourier du signal

, de période

, est donnée par

- Expliquer brièvement pourquoi, un choix judicieux de l'origine des temps a permis de simplifier le developpement en série de Fourier . Pour quelle raison peut-on savoir sans calcul que tous les termes avec sont nuls?

Sur la figure 4 ci-dessous, sont représentées, en fonction de

, les allures des quatre premiers harmoniques non nuls de

soit

et 3 .

Figure 4 - Amplitudes des premiers harmoniques du signal

en fonction de

21-Quelle valeur de

pourrait-on choisir pour que la tension

s'approche au mieux d'un signal sinusoïdal? Comparer alors les amplitudes de l'harmonique fondamental (

) et des deux premiers harmoniques non nuls restants. On commentera le résultat.

22 - On définit le taux global de distorsion harmonique par

où

est la valeur efficace du signal

celle du fondamental. Exprimer

en fonction de

puis calculer numériquement le taux de distorsion pour la valeur de

choisie à la question 21. Comparer au cas d'un signal créneau sans palier nul (

).
Le taux de distorsion trouvé précédemment est trop élevé pour alimenter convenablement le transducteur et une opération de filtrage est nécessaire afin d'atténuer les harmoniques restantes du signal

. Pour ce faire, on installe en série avec la charge supposée purement résistive et de résistance

, un dipôle fortement inductif, modélisé par une bobine idéale non résistive et d'inductance

Figure 5 - Dispositif de conversion d'énergie et filtrage

23- Montrer que la tension

est le résultat d'une opération de filtrage dont on précisera la nature et la pulsation de coupure

24-Déterminer l'expression générale de la tension

en fonction des

, de

et de

- On reprend la valeur de choisie à la question et on règle la valeur de de sorte que . Comparer les amplitudes du fondamental et des deux premières harmoniques non nulles restantes. En déduire une forme approchée du signal puis représenter son allure en concordance des temps avec le signal .

FIN DE LA PARTIE II

FIN DE L'ÉPREUVE

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1. D. Foresti, M. Nabavi, M. Klingauf, A. Ferrari and D. Poulikakos, Acoustophoretic contactless transport and handling of matter in air >>, Proc. Natl. Acad. Sci. U.S.A, vol. 110 no. 31, Janvier 2013, 12549-12554
2. M. A. B. Andrade, N. Pérez, J. C. Adamowski, Particle manipulation by a non-resonant acoustic levitator >>, Appl. Phys. Lett., 106, 014101, Janvier 2015