J-0
00m
00j
00h
00min
00s

Version interactive avec LaTeX compilé

Télécharger PDF

Mines Physique 2 PSI 2003

Notez ce sujet en cliquant sur l'étoile
0.0(0 votes)
Logo mines
🔗 Explorer
Banque
Mines
Année
2003
Filière
PSI
Matière
Physique
Mines PSIMines 2003PSI PhysiquePhysique 2003
2025_09_04_88aed1a474aaab093512g

ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÉES, ÉCOLES NATIONALES SUPÉRIEURS DE L'AÉRONAUTIQUE ET DE L'ESPACE DE TECHNIQUES AVANCÉES, DES TÉLECOMMUNICATIONS, DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT-ÉTIENNE, DES MINES DE NANCY, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS DE BRETAGNE ÉCOLE POLYTECHNIQUE (FILIERE TSI)

CONCOURS D'ADMISSION

SECONDE ÉPREUVE DE PHYSIQUE

Filière PSI

(Durée de l'épreuve : heures; l'usage de la calculatrice est autorisé)
Sujet mis à disposition des concours : Cycle international, ENSTIM, INT, TPE-EIVP
Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie :
Physique II - Filière PSI
L'énoncé de cette épreuve, particulière aux candidats de la filière PSI, comporte 7 pages.
  • Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.
  • Il ne faudra pas hésiter à formuler tout commentaire qui vous semblera pertinent, même lorsque l'énoncé ne le demande pas explicitement. Le barème tiendra compte de ces initiatives ainsi que des qualités de rédaction de la copie.
  • Convention typographique : un vecteur est noté en gras, par exemple ; le vecteur unitaire pour la coordonnée est noté .

PRODUCTION ET STOCKAGE D'HOLOGRAMMES

L'addition cohérente de deux ondes optiques produit une figure d'interférence, dont l'enregistrement est nommé hologramme. L'holographie consiste en l'étude de la production et de l'utilisation d'hologrammes ; elle diffère de l'étude classique d'interférences par la complexité des ondes qui interfèrent et celle du dispositif expérimental. Un hologramme peut produire l'image tridimensionnelle d'un objet. L'utilisation d'hologrammes est largement répandue à des fins publicitaires, éducatives, techniques ou artistiques.
Les deux parties de ce problème sont indépendantes entre elles ; la partie I concerne la production et la restitution d'un certain type d'hologrammes, dits épais, la partie II s'intéresse à une méthode d'enregistrement d'hologramme s'appuyant sur l'effet photoréfractif, caractérisé plus bas.
Toutes les longueurs d'onde dont il sera question sont les longueurs d'onde dans le vide.

Partie I: Hologrammes épais

Pour former l'hologramme d'un objet, on utilise (Fig. 1) une onde lumineuse plane monochromatique, de pulsation , de longueur d'onde é que l'on sépare en deux faisceaux. L'un des faisceaux sert d'onde de référence ; l'autre faisceau éclaire un objet, et subit simultanément réflexion, réfraction et diffusion. L'hologramme est produit en faisant interférer sur une
plaque photosensible l'onde de référence avec l'onde ayant éclairé l'objet. L'utilisation ultérieure d'un faisceau de lecture (Fig. 2) permettra d'obtenir, en transmission dans ce problème, une onde non plane, de pulsation , caractéristique de l'objet.
On note l'amplitude complexe au point M et à l'instant de l'onde issue de l'objet. Dans le trièdre orthonormé Oxyz, l'onde de référence, d'amplitude é de phase nulle au point O et à l'instant , est caractérisée par son vecteur d'onde éé. On la note éé et l'on suppose, dans tout le problème, l'amplitude é de l'onde de référence très supérieure à celle de l'onde issue de l'objet : é.
L'intensité au point M d'une onde d'amplitude complexe sera conventionnel lement définie par le carré du module : .
Fig. 1 Enregistrement d'un hologramme
Fig. 2 Lecture en transmission d'un hologramme
On établit aisément (et l’on admettra) l’expression suivante de l’intensité lumineuse au point M de la plaque photosensible :
On suppose dans tout le problème que l'objet dont on forme l'hologramme est ponctuel et situé à l'infini sur l'axe Oz (Fig. 1); il génère alors une onde plane de vecteur d'onde é, d'amplitude é en phase avec l'onde de référence au point O. La phase de cette onde plane est donc: .OM. On admettra, sans chercher à l'établir, que la relation [1] donne, à l'ordre le plus bas en :
où é. La figure d'interférence est enregistrée sur une plaque photosensible parallélépipédique (c'est l'hologramme!). Ce parallélépipède est défini par , et . On suppose et , inégalités dont on ne manquera pas de tirer les conséquences pratiques, en termes de diffraction. La mémoire holographique est située dans la zone de recouvrement du faisceau de référence et du faisceau issu
de l'objet. En dehors de la mémoire holographique, les ondes se propagent dans l'air, assimilé au vide. On rappelle la relation : .

Enregistrement et lecture d'un seul hologramme.

- L'onde de référence et l'onde issue de l'objet (en phase au point O ) sont de même longueur d'onde é et de vecteurs d'onde respectifs é et é. Déduire de la relation [1] que l'intensité lumineuse à laquelle le point de la mémoire holographique est soumis lors de l'enregistrement s'écrit :
é
- La mémoire holographique est éclairée, comme indiqué Fig. 2. L’élément de volume dт entourant un point de cet objet émet dans ces conditions une onde diffractée en phase avec l'onde de lecture en M , d'amplitude d , où et sont des constantes positives réelles et représente l'amplitude de l'onde de lecture. L'amplitude diffractée à l'infini dans la drection de vecteur unitaire (on néglige donc la diffraction selon Oy ) s'écrit :
é
où ( ) représente le déphasage de l'onde émise en dans la direction par rapport à l'onde émise dans la même direction par le point O . La longueur d'onde de lecture est ( ) et son vecteur directeur unitaire est . Exprimer
(M, ) en fonction de et des vecteurs et , puis en fonction de et des coordonnées du point M .
- L'amplitude totale de l'onde diffractée à l'infini par la mémoire holographique dans la direction s'exprime en termes des trois intégrales et :
Posons et
et, de manière similaire :
Déterminer en fonction de la valeur de pour laquelle le terme indépendant de dans est maximal. Estimer la largeur angulaire du pic principal de diffraction pour ce terme. Que dire de ce terme en dehors de son maximum principal?
- Montrer que la contribution à des deux termes dépendant de ne prend de valeurs notables, (compte tenu des ordres de grandeur de et é ) que si les angles et , tous supposés petits (devant , par exemple), sont reliés par les relations, respectivement :
éééé
-Quel est le nombre de pics principaux de diffraction observés lorsque l'angle varie?
-Dans cette question et dans la suivante, on suppose . Vérifier que l'on observe, pour , un pic de diffraction dans la direction , correspondant à la reconstitution de l'image de l'objet dont on enregistre l'hologramme, et d'intensité proportionnelle à .
- On considère le terme associé à cette reconstitution de l'image. C'est un produit de deux facteurs. Montrer que, lorsque les angles sont petits, l'un des facteurs de ce terme est beaucoup plus sensible aux variations de et que l'autre. Dans le cas où , déterminer la plus petite valeur absolue de l'écart pour laquelle ce terme s’annule dans la direction . Remarquer que, pour une plaque donnée, ne dépend que de .

Deux types d'enregistrement d'hologrammes multiples

Lorsque plusieurs hologrammes sont enregistrés dans la même mémoire, on admettra que les résultats précédents sont valables pour chacun d'entre eux.
- Dans un premier type d'enregistrement, la longueur d'onde de l'onde de référence est identique pour les deux hologrammes et prend respectivement les valeurs et , petites devant . L'onde de lecture est caractérisée par é et , de manière à reconstituer l'image associée à l'hologramme 1 dans la direction . La reconstitution est dite correcte si . Quelle est la signification physique de cette inégalité ?
- Dans un second type d'enregistrement, l'angle de référence est identique pour les
deux hologrammes et les longueurs d'onde prennent, respectivement, les valeurs et . L'onde de lecture est caractérisée par et .
Montrer, en vous inspirant de la question 8, que la reconstitution de l'image associée à l'hologramme 1 peut être dite correcte si est supérieur à un certain seuil, dont on donnera l'expression. Calculer le nombre d'hologrammes enregistrables dans une plage de longueurs d'onde autour d'une valeur centrale , pour , et .

Partie II : Stockage d'hologrammes

Cette partie, indépendante de la précédente, étudie une méthode d'enregistrement d'un hologramme. On se limite à des phénomènes unidimensionnels selon l'axe . L'intensité lumineuse éclairant le milieu lors de l'enregistrement s'exprime par , avec . L'information sur l'objet holographié est contenue dans le terme de modulation spatiale .

Stockage dans un cristal photoréfractif

Un cristal photoréfractif est un cristal transparent dont l'indice est
Neutre
Ionisé
modifiable par éclairement. Il est modélisé par une matrice de permittivité diélectrique statique , dans laquelle sont présents deux types de sites, l'un et l'autre fixes dans le réseau:
  • Des sites donneurs d'électrons notés (D), qui peuvent chacun s’ioniser en libérant un électron, pour former un site chargé ( ). On note la densité particulaire totale de ces sites et
Neutre
Ionisé
on la suppose uniforme et constante. On note la densité particulaire de sites ionisés ( ) à l'abscisse et à l'instant . Avec les notations du tableau ci-dessous, .
  • Des sites accepteurs, notés (A), qui peuvent chacun capter un électron pour former un site chargé ( ). La densité particulaire totale de ces sites, notée , est uniforme et constante. Dans les conditions de cette étude, tous les accepteurs sont ionisés : .
On suppose enfin très supérieur aux autres densités particulaires, en particulier .
Type Symb. Conc.
Donneur neutre
Donneur ionisé
Accepteur ionisé
Électron
Le courant électrique dans le cristal est uniquement dû aux électrons libérés par l'ionisation des donneurs. La densité particulaire d'électrons libres à l'abscisse et à l'instant est notée .

Ionisation des donneurs : deux mécanismes

L'ionisation des donneurs résulte du transfert spontané des électrons en sites (D) vers les sites (A) ; l'inégalité permet donc l'ionisation totale des accepteurs.
L'ionisation de sites D se produit aussi lorsque le cristal est éclairé par une onde lumineuse d'intensité
. À l'instant et à l'abscisse , le nombre de sites (D) ionisés par unité de temps et de volume est donc, pour ce mécanisme, , où est une constante positive.

Neutralisation des donneurs

Les électrons libres peuvent se recombiner avec les sites ionisés ( ) et les neutraliser. Le nombre de recombinaisons par unité de temps et de volume est , où est une autre constante caractéristique du cristal. On a donc, pour :
Avant irradiation, et .
10- Justifier que, immédiatement après l'irradiation, l'ionisation des sites (D) est plus importante dans les zones d'éclairement maximal. Rappeler la loi de Fick pour la diffusion particulaire (on notera la constante qui intervient dans cette loi). Préciser la direction des courants électriques de diffusion qui résultent de l’éclairement.
11 - Quel est, dans les régions d'éclairement maximal, le signe de la densité volumique de charge associée à la diffusion des électrons libres? Même question pour les zones d'éclairement minimal. En déduire la direction du champ électrique dans une région située entre une zone d'éclairement maximal et une zone d'éclairement minimal.
12 - Quelle est l'influence de ce champ électrique sur les mouvements des électrons libres dans le cristal?
- On pose et on note la densité de courant électrique dû aux mouvements des électrons libres. Quelle est l'expression de en fonction de , et ? Exprimer la conservation de la charge (équation de continuité) reliant aux densités particulaires et . Justifier, pour un cristal électriquement isolé, la nullité de en régime permanent.
- Le flux d'électrons est la somme du flux diffusif , qui suit la loi de Fick, et du flux é, dû au champ électrique dérivant du potentiel . À l'équilibre thermodynamique, la densité des électrons est donnée par la loi de Boltzmann , où représente la constante de Boltzmann, e la charge élémentaire ( ) et la température. Quelle relation en résulte-t-il entre et ? En déduire l'expression de é à l'équilibre en fonction de et . La vitesse de dérive des électrons à l'équilibre s'écrivant é, déterminer en fonction de et ; c'est la relation d'Einstein.
15 - Admettant que la relation d'Einstein reste applicable en régime lentement variable (même si n'est plus celui qui est donné par la loi de Boltzmann), exprimer la densité de courant électrique total en présence du champ électrique .
16 - On suppose à partir d'ici qu'un état stationnaire est atteint. Déduire des questions précédentes les équations suivantes modélisant le comportement du milieu en régime permanent :
17 - L'intensité lumineuse dans le cristal est ici uniforme ( ). Que vaut alors le champ électrique ? On cherche en régime permanent la solution uniforme des équations précédentes. Établir l'équation vérifiée par en fonction de et . Exprimer ensuite dans l'hypothèse où . Quelle est l'inégalité relative à équivalente à cette hypothèse ?
- Le taux de modulation est supposé ici non nul, et petit devant 1 . Le terme de modulation spatiale de l'intensité apparaît alors comme une petite perturbation du terme principal; on pose , où est la valeur de quand et un déphasage. Les grandeurs et seront considérées comme des infiniment petits d'ordre 1 . À partir des relations [5] et [6], déterminer l'expression de puis de à l'ordre 1 . En reportant l'expression de dans la relation [4], et en ne conservant que les termes d'ordre au plus égal à 1 , montrer que l'on retrouve pour l'équation vérifiée par à la question 17, ainsi qu'une équation permettant de déterminer et . Dans le cas où , exprimer puis le champ en fonction de et .
- Le champ électrique présent dans le matériau entraîne une variation locale de l'indice de réfraction , proportionnelle à ; représente l'indice (uniforme) du milieu en l'absence du champ et une constante caractéristique du milieu. Établir l'expression de la variation d'indice en fonction de et . La modulation d'indice du milieu qui apparaît lors de l'illumination par l'intensité reproduit-elle la forme exacte de la modulation de ? Que se passerait-il si n'était pas purement harmonique?
  • 20 - Résumer l'ensemble de l'étude précédente en discutant la notion de mémoire que l'on peut attacher à ce système. Comment peut-on effacer les hologrammes enregistrés dans ce milieu photoréfractif ? La lecture d'un hologramme est-elle susceptible de l'effacer ?
  • 21 - Donner l'ordre de grandeur de pour le titanate de baryum , où et .
    L'éclairement est caractérisé par et .
    Charge électrique élémentaire : .

FIN DE L'ÉPREUVE

Mines Physique 2 PSI 2003 - Version Web LaTeX | WikiPrépa | WikiPrépa