(Durée de l'épreuve : heures; l'usage de la calculatrice est autorisé)
Sujet mis à disposition des concours : Cycle international, ENSTIM, INT, TPE-EIVP
Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie :
Physique II - Filière PSI
L'énoncé de cette épreuve, particulière aux candidats de la filière PSI, comporte 7 pages.
© Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.
© Tout résultat fourni dans l'énoncé peut être utilisé pour les questions ultérieures, même s'il n'a pas été démontré.
© Il ne faudra pas hésiter à formuler tout commentaire qui vous semblera pertinent, même lorsque l'énoncé ne le demande pas explicitement. Le barème tiendra compte de ces initiatives ainsi que des qualités de rédaction de la copie.

La plupart des locomotives utilise la traction électrique. Parmi les procédés utilisés, figurent les chaînes de traction à moteur à courant continu, à moteur asynchrone et à moteur synchrone auto piloté. Pour les locomotives de puissance, le choix actuel de la SNCF est la chaîne de traction à moteurs synchrones autopilotés étudiée dans ce problème.

Les figures principales sont regroupées à la fin de l’énoncé.

La masse d'une rame du TGV Atlantique (deux motrices et dix voitures remorques) est . La figure 1 représente les courbes donnant les variations suivant la vitesse, notée , d'une part de la résultante des actions extérieures s'exerçant sur la rame, notée ( , en pointillés), d'autre part de la résultante des actions exercées par l'ensemble des moteurs, ( , en traits pleins). On rappelle que .

On analyse dans ce qui suit le cas où la traction électrique est assurée par des moteurs synchrones. La première partie est consacrée à l'étude du moteur, la seconde à l'étude de sa commande.

Le principe du moteur synchrone repose sur l'interaction entre un champ magnétique «tournant» généré par des courants circulant dans les circuits statoriques, et un champ associé aux courants circulant dans les bobinages du rotor.

Le stator porte trois bobinages identiques, alimentés en courant triphasé. Chacun d'eux est assimilé à une spire plate, parcourue par le courant avec . L'alimentation triphasée est caractérisée par l'ensemble des courants (Fig. 2) :

Les parties des spires parallèles à l'axe , positionnées dans des encoches situées à l'intérieur du stator, se referment en formant des cadres rectangulaires. On note la normale au cadre et le courant algébrique (orientation sur la figure) associés à la spire . Le stator et le rotor, tous deux réalisés dans un matériau magnétique linéaire, sont séparés par une zone d'air, d'épaisseur , nommée entrefer. La faible valeur de permet de confondre le rayon intérieur du stator et le rayon extérieur du rotor, notés l'un et l'autre.

La perméabilité relative du matériau magnétique, , sera considérée comme infinie ; celle de l'air sera prise égale à 1 .
6. Les effets de bord suivant la direction sont négligés. Justifier que le champ est radial dans l'entrefer.

L'espace est rapporté au repère cylindrique ( ) défini sur la figure 3 ; les angles sont repérés à partir du vecteur . On désigne par , le champ dans l'entrefer ; on néglige sa variation en fonction de sur l'épaisseur de l'entrefer. Le théorème d'Ampère dans un milieu magnétique s'écrit , où (C) désigne un contour fermé orienté et la somme des courants algébriques libres traversant ce contour. Dans le cas où le contour traverse plusieurs
milieux, on admet que la circulation de sur les portions situées dans les milieux de haute perméabilité relative est négligeable devant celle qui est calculée sur les portions situées dans l'air.
7. À l'aide du contour (C) défini sur la figure 4, établir que le champ créé par le courant , satisfait la relation , où la fonction est représentée sur la figure 5. Déterminer la constante (Fig. 5) et préciser la signification de .
8. De même, représenter les graphes des fonctions et associées aux champs et créés par les courants et , tels que . Montrer qu'il existe une relation simple entre et puis et .
9. Les fonctions , périodiques, admettent un développement en série de Fourier dont on ne retiendra que le terme fondamental (développement limité au premier harmonique). Exprimer . On donne :

Le bobinage porté par le rotor est modélisé par une spire rectangulaire de largeur et de hauteur , solidaire du rotor, parcourue par le courant continu (Figure 6). Sa position est repérée par l'angle entre , vecteur normal à la spire, et (défini fig. 2).
13. Établir que , moment par rapport à l’axe ( ), des forces de Laplace s’exerçant sur le cadre, satisfait , où est fonction de et .
14. Le rotor tourne à la vitesse angulaire et la position de se repère par l'angle . Pour quelle valeur de la moyenne temporelle de est-elle non nulle ? Exprimer alors le couple ; dans quelle plage de valeurs de ce couple est-il moteur ?
15. Le moteur synchrone entraîne une charge dont le couple résistant est noté . Quelle est la valeur maximale que peut prendre en régime permanent?
16. En supposant et , montrer qu'il existe deux points de fonctionnement possibles en régime permanent. Étudier la stabilité de ces régimes par rapport à d'éventuelles perturbations.

On s'intéresse aux flux du champ magnétique produits par le courant d'intensité dans les bobinages du stator. Ces flux, dépendant de la position du rotor par l'intermédiaire de l'angle seront ici décrits par le premier harmonique de leurs développements en série de Fourier : On conviendra que tous les sont positifs.
17. Que représente le plan contenant l'axe ( ) et le vecteur (cf. Fig. 6) pour le système constitué de la spire modélisant le bobinage du rotor et les pièces métalliques ?
18. Déterminer les valeurs de rendant le flux nul (on pourra admettre que tous les sont nuls). En déduire la valeur du déphasage . Exprimer alors les flux et en fonction de et de (on ne cherchera pas à déterminer ).
19. En déduire, pour , les forces électromotrices induites dans les bobinages du stator en fonction de et . Quelle est leur valeur efficace, ?

La commande des moteurs est assurée par l'ensemble décrit sur la figure 7. L'interrupteur se commande à l'ouverture et à la fermeture. Les interrupteurs et se commandent uniquement à la fermeture. On note . Chacun des bobinages du stator étudié dans la première partie est modélisé par le montage de la figure 8. On considère que les bobinages sont identiques et l'on note et , respectivement, la résistance et l'inductance équivalente.
L’ensemble représente les trois courants triphasés introduits dans la première partie, et l'ensemble , les trois forces contre-électromotrices d'induction liées à l'influence du rotor sur le stator.
L'inductance de lissage rend négligeable l'ondulation du courant . Ce dernier pourra être assimilé à sa valeur moyenne . La figure 9 fournit les variations de différentes grandeurs en fonction du temps sur une période de commande . Dans l'exemple considéré, le courant est en avance par rapport à la tension d'un angle noté .
20. Déterminer la séquence de commande de fermeture des interrupteurs de l'onduleur pour obtenir les trois courants de la figure 9. On donnera les couples d'interrupteurs fermés pour chacun des six intervalles constituant la période.
21. On admet pour la suite que, lorsque le courant est en avance sur la tension, la fermeture d'un interrupteur entraîne spontanément l'ouverture de l'interrupteur adéquat. On considère aussi que les commutations s’effectuent de façon idéale. Montrer que, quel que soit l'intervalle de temps considéré, le dipôle compris entre et est constitué de l'association série d'une résistance égale à et d'une inductance égale à et de la source de tension représentée sur la figure 9. Cette tension, est définie comme la différence , où et , représentées sur le même chronogramme que , s'identifient, dans l'intervalle de temps considéré, à ou , en fonction des interrupteurs passants ; par exemple, pour .
22. Écrire l'équation donnant en fonction de et . Considérant que ces grandeurs instantanées sont périodiques, donner la relation liant leurs moyennes temporelles respectives, et ; le résultat ne dépend ni de ni de .
23. L'interrupteur commandé est fermé pendant la fraction de la période et ouvert pendant la durée , avec . Donner la valeur moyenne de sur une période. Notant la valeur efficace des forces contre-électromotrices et introduites à la question 19 et admettant la relation générale , établir la relation .

Le tableau ci-dessous récapitule quelques données concernant le moteur auto piloté du TGV Atlantique (1985).

Dans toute la suite de l'étude, on assimile les courants à leur terme fondamental, ce qui permet d'utiliser les résultats obtenus dans la première partie. On admet la relation suivante, entre les valeur efficace et moyenne de l'intensité du courant circulant dans les bobinages du stator : .
24. À partir des résultats des questions 13 et 18 et de la figure 9, établir la relation . Exprimer le couple moteur en fonction de et .
25. À l'aide du tableau, calculer la valeur du couple par moteur de TGV.
26. On donne: et . Calculer la valeur numérique de et celle du couple de la question 13.
27. Le rapport des deux couples trouvés correspond au fait que phases et rotor comprennent l'un et l'autre plus d'une spire. Convenant que l'enroulement du rotor est constitué de 15 spires, calculer le nombre de spires par phase.

Le moteur entraîne un dispositif présentant un couple résistant proportionnel à la vitesse de rotation , où est une constante. La position du rotor est repérée par un capteur qui permet de régler la période de commande de l’onduleur à une valeur identique à celle de rotation du rotor. Le synchronisme est ainsi toujours assuré. On rappelle que la valeur efficace de la force électromotrice est notée étant une constante homogène à un flux.
L'étude de l'ensemble hacheur-onduleur a montré que les deux paramètres de réglages sont l'angle et la constante . Dans le dispositif de régulation étudié, on choisit de fixer à une valeur suffisante et de conserver la constante comme seul paramètre de commande. Ainsi, en agissant sur cette grandeur, on dispose d'une fonction de commande . On désigne par le moment d'inertie de la partie tournante par rapport à l'axe de rotation du moteur
28. Établir l'équation différentielle reliant et sous la forme où et sont à déterminer, sachant que est homogène à . En déduire que la fonction de transfert s'écrit où et sont à déterminer.

29. On réalise le circuit d'asservissement de vitesse schématisé sur la figure ci-contre : désigne la grandeur de consigne, ici égale à un échelon caractérisé par et . Un capteur de vitesse permet de comparer la grandeur ramenée proportionnelle
à la vitesse (le rapport de conversion , Fig. 10 et 11, est une constante) à la grandeur de consigne. Déterminer la réponse en vitesse ainsi que l'erreur en régime permanent . Comment doit-on choisir ?
30. On insère maintenant un correcteur (figure 11). Calculer la nouvelle erreur en régime permanent.
31. Lorsque la rame de TGV monte une côte, un couple constant de freinage se rajoute au couple de charge précédent, qui devient . Comment l'équation différentielle (cf. question 24) reliant et est-elle modifiée de ce fait? Pour quelle valeur de la constante le schéma de la figure 12 rend-il compte de cette nouvelle équation ? [ Je l'ai mis plus bas]
32. Représenter les schémas des asservissements représentés sur les figures 10 et 11 lorsque l'on fait intervenir le couple de freinage ;
33. En modélisant ce couple supplémentaire par un échelon, calculer pour les deux asservissements précédents la nouvelle vitesse en régime permanent lorsque la consigne délivre le même échelon que précédemment. Comparer les résultats et conclure sur l'intérêt du correcteur.