Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

Atmosphère terrestre et ballons-sondes

Le premier ballon-sonde d'exploration de l'atmosphère a été lancé en 1892. À leurs débuts, ces ballons sont équipés d'enveloppes en matériaux non extensibles (papier huilé par exemple). Étant fermés, ils finissent donc par éclater en altitude lorsque la pression atmosphérique devient trop faible et il faut récupérer les instruments de mesure au sol après leur chute pour espérer relever des mesures faites et mémorisées par ceux-ci.
Depuis 1929, les ballons-sondes météorologiques sont équipés pour la transmission radio en temps réel des mesures effectuées vers des stations de réception au sol. Aujourd'hui encore l'entreprise fondée par le physicien et météorologiste finnois Vilho Väisälä reste un leader de l'instrumentation embarquée.
En 2002 une altitude record de 53 km a été atteinte par un ballon scientifique lancé par l'institut de recherche japonais JAXA, avec un rayon maximal de l'ordre de 25 m . Enfin, à la fin de janvier 2023, l'armée des États-Unis a repéré un ballon de haute altitude (environ 18 km ) d'origine chinoise avant de l'abattre. L'appareil, de dimensions comparables au ballon du record japonais, emportait une charge utile de l'ordre d'une tonne. Le gouvernement chinois l'a décrit comme météorologique.

Ce sujet décrit quelques éléments de la Physique de l'atmosphère et certaines propriétés de tels ballons, indilatables ou dilatables et des mesures qu'ils sont susceptibles de réaliser au moyen d'instruments ou de récepteurs embarqués. Il comporte deux parties I et II totalement indépendantes.

Les données numériques et valeurs des constantes physiques nécessaires sont regroupées en fin d'énoncé. Pour les applications numériques demandées, on se contentera de 2 chiffres significatifs.

I Ballon-sonde dans l'atmosphère

L'atmosphère sera décrite comme un mélange idéal de gaz parfaits de masse molaire moyenne

et de rapport adiabatique

, en équilibre dans le champ de pesanteur. L'étude sera limitée aux couches les plus basses (la troposphère) dans lesquels la température décroît linéairement de sa valeur

au sol à la valeur minimale

à l'altitude maximale

. Les ballons eux-mêmes seront emplis d'hélium (sauf à la dernière question de la sous-partie I.C, qui étudie un ballon historique employant un mélange contenant du dihydrogène). L'hélium sera également décrit comme un gaz parfait de masse molaire

et de rapport adiabatique

.
Les sous-parties I.A (modèles pour l'atmosphère terrestre), I.B (stabilité verticale de celle-ci), I.C (forces exercées sur un ballon lors de sa montée) et I.D (modèle décrivant les ballons à enveloppe élastique) peuvent être abordées indépendamment.

I.A Pesanteur et pression en altitude

. On confond les champs de pesanteur et de gravitation terrestre et on admet pour la Terre une symétrie sphérique de répartition des masses. Montrer que l'intensité

du champ de pesanteur dans la troposphère varie de moins de

par rapport à sa valeur au sol.

Dans la suite on négligera les variations de

mais aussi la courbure de la Terre et le sol est le plan

où l'axe (

) est vertical ascendant.
La pression

, la température

et la masse volumique

ne dépendent que de

. On suppose l'équilibre mécanique de la colonne d'air (figure 1) située au-dessus de l'altitude

. Les paramètres

sont constants.

Figure 1 - Équilibre d'une colonne d'air

1. Déduire des indications précédentes une relation intégrale liant et la fonction puis l'équation différentielle :

et exprimer les altitudes caractéristiques

en fonction de

et de

respectivement, puis calculer numériquement

1. Montrer que et déterminer puis la valeur numérique de la pression au sommet de la troposphère.

I.B Stabilité d'une atmosphère sans vent

On étudie ici en l'absence de vent, un modèle d'atmosphère stratifié : la pression

, la température

et donc la masse volumique

du gaz ne dépendent que de l'altitude. Une certaine quantité d'air, de volume

, prise à l'altitude

sous la pression

, subit, pour des raisons qu'on ne précisera pas ici, un déplacement rapide jusqu'à une altitude

et y acquiert presque instantanément la pression d'équilibre

environnante (cf. figure 2). Cette évolution sera supposée assez rapide pour être décrite comme adiabatique et cependant réversible; on notera respectivement

la décroissance relative de la masse volumique de l'air atmosphérique et

la grandeur analogue pour les variations adiabatiques et réversibles d'altitude de l'air du volume

1. Écrire, en fonction de la masse volumique de l'air atmosphérique et de celle de l'air dans le volume , la résultante des forces de pesanteur et de pression exercées sur le volume d'air.
1. En déduire l'équation différentielle vérifiée par l'altitude du volume d'air. Si l'air est, à l'arrivée, plus froid que l'air environnant, va-t-il redescendre ou continuer à monter? Que dire dans ce cas de la stabilité de l'atmosphère?
1. On considère que est assez faible pour qu'on puisse se contenter d'un développement au premier ordre en . Montrer l'équation de Brunt-Väisälä :

Figure 2 - Évolution rapide d'une certaine quantité d'air

Ici et dans toute la suite on adoptera pour la description de l'air atmosphérique les expressions de la pression

et de la température

dans l'atmosphère:

avec

. Exprimer

en fonction de

. Dans le cas d'une évolution adiabatique réversible, rappeler la relation qui lie

et leurs valeurs initiales

en fonction du rapport adiabatique

. En déduire l'expression de

en fonction de

1. Conclure quant à la stabilité de l'atmosphère relativement aux mouvements verticaux de l'air.

I.C Forces exercées sur un ballon

En haute atmosphère des vents de vitesse allant jusqu'à

ne sont pas rares. La force

exercée dans ces conditions par le vent sur un ballon sphérique de rayon

ne dépend que de la masse volumique

de l'air, de

et de

. Proposer, par exemple par analyse dimensionnelle, une expression

de cette force due au vent.

- 11. On note

le poids du ballon, qu'on supposera en équilibre thermique et mécanique avec l'air environnant. Expliciter le rapport

en fonction de

et de la densité

de l'hélium. À quelle condition (portant sur

) la force exercée par le vent est-elle prépondérante? On calculera un ordre de grandeur du rayon critique

avant de conclure.

Le 17 novembre 1892, par une journée sans vent notable, un ballon à enveloppe rigide de volume

est complètement gonflé au gaz d'éclairage (qu'on assimilera à du dihydrogène) par Gustave Hermite et Georges Besançon. Il embarque un manomètre et un thermomètre à minima, capables d'enregistrer les valeurs les plus basses de la pression et de la température avant l'éclatement du ballon et la récupération au sol des instruments. Dans ce cas les instruments indiquent une pression minimale

bar et une température minimale

1. Calculer la masse maximale de l'enveloppe et des instruments.

I.D Ballons à enveloppe élastique

Dans toute la suite on ne tiendra plus compte des vents pour l'étude de l'équilibre du ballon. Le ballon est formé d'un matériau élastique qui doit rester tendu, ce qui explique que la pression intérieure

de l'hélium doit rester supérieure à la pression extérieure

de l'air atmosphérique. Considérant le cas (figure 3) d'un ballon sphérique de rayon (variable)

, on en isole par la pensée une partie basse et une partie haute, séparées par un cercle

de rayon

, parallèle au plan (

) avec

Figure 3 - Forces de tension au sein de la membrane du ballon

La force de tension (ou de traction) exercée par la partie basse du ballon sur l'autre partie est uniformément répartie le long de ce cercle (

) avec une force par unité de longueur de norme

constante, tangente au ballon et perpendiculaire à

. Ici et dans toute la suite on négligera la masse de la membrane.

1. Exprimer la résultante des forces de traction exercées par la partie basse du ballon sur la partie haute en fonction de et puis la résultante des forces de pression exercées sur la partie haute du ballon en fonction de et uniquement.
1. Établir la loi de Jurin-Laplace, . Dans la suite on admettra qu'elle est constamment vérifiée avec pour la pression atmosphérique à l'altitude du ballon.
  . Le ballon est assemblé au sol, où bar avec un rayon d'équilibre 2 m et une pression intérieure d'équilibre bar. Calculer et . On considérera que ces valeurs restent constantes dans toute la suite.

Le ballon monte à l'altitude

et acquiert alors instantanément le rayon d'équilibre

; on note

. Au cours de cette montée on admet que l'évolution de l'hélium intérieur au ballon est adiabatique et réversible.

. Établir une relation de la forme

en précisant l'expression de

en fonction de

. Montrer que

. Les courbes proposées figure 4 sont celles représentatives de

et de

. En déduire les valeurs numériques de

aux altitudes 3,9 et 15 km .

Figure 4 - Courbes représentatives de

II Mesures météorologiques dans l'atmosphère

Depuis les premiers lancements, l'objectif des ballons-sondes météorologiques a été la mesure de différentes propriétés de l'atmosphère en fonction de l'altitude. Une grande variété de capteurs a été développée dans ce but; ce problème décrit le principe ou quelques propriétés des capteurs ou récepteurs actuellement utilisés. Il comporte trois parties totalement indépendantes II.A (mesure de température au moyen d'une thermistance), II.B (mesure de l'humidité de l'air au moyen d'un capacimètre) et II.C (mesure de position employant un récepteur GPS).

II.A Mesures de température

La mesure des températures par les ballons-sondes météorologiques s'effectue commodément au moyen de thermistances CTN : facilement interfaçables, ce sont des dipôles électriques dont la résistance, de l'ordre de quelques

, dépend significativement de la température

. Une étude détaillée menée en 1968 par Steinhart et Hart a montré, pour la plupart de ces composants, qu'un étalonnage satisfaisant se met sous la forme :

si la température

est en K et la conductance

du capteur est en

. Dans le cas de la thermistance Western Electric 4756-12, utilisable dans le domaine des basses températures jusqu'à

, avec les valeurs de référence

, ils ont en particulier déterminé les valeurs de :

1. Quelle approximation raisonnable de la fonction d'étalonnage ci-dessus peut-on proposer? On fera cette approximation dans la suite.
1. La thermistance utilisée est un cylindre de section et de longueur . Rappeler la relation liant et la conductivité électrique du matériau. En déduire que cette dernière varie, dans une thermistance, proportionnellement au facteur de Boltzmann et exprimer puis calculer numériquement , dans une unité adaptée au cas de la thermistance Western Electric 4756-12.

On interprète les variations de conductivité électrique des conducteurs et semi-conducteurs dans le cadre du modèle de Drude. Dans celui-ci, les porteurs de charge mobiles, de masse

et de charge

, sont mis en mouvement à la vitesse

au sein du matériau conducteur par l'action d'un champ électrique

et des forces modélisant toutes les collisions avec le reste du milieu. Dans un semi-conducteur, la densité volumique

des porteurs de charge mobiles dépend beaucoup de la température

mais nous admettrons que la durée moyenne

entre deux chocs n'en dépend pas.

. En admettant que la résultante des chocs d'un porteur de charge mobile avec le reste du milieu conducteur est équivalente à une force de freinage de la forme

, étudier le mouvement d'un porteur de charge et en déduire l'expression, en régime permanent, de la conductivité électrique

d'un tel milieu en fonction de

Dans un milieu semi-conducteur, de température

, les éventuels porteurs de charge sont, à basse température, immobilisés dans la bande de valence. Ils ne contribuent au courant électrique que s'ils sont présents dans la bande de conduction; on note

l'écart d'énergie entre ces deux bandes (figure 5).

Figure 5 - Bandes de valence et de conduction

1. En appliquant une loi statistique utilisant un facteur de Boltzmann, donner le rapport entre les densités de porteurs de charge dans la bande de conduction et dans celle de valence.
  Sans faire de calcul supplémentaire, mais en expliquant son raisonnement, donner la valeur numérique de .

II.B Mesures de l'humidité relative

Pour évaluer la pression partielle de vapeur d'eau dans l'atmosphère, les ballons-sondes utilisent des hygromètres capacitifs; ils s'agit de condensateurs formés de deux plaques métalliques planes, de grande surface

, disposées en vis à vis et séparées sur une épaisseur

par un milieu isolant : nous considérerons tout d'abord que ce milieu est électriquement équivalent au vide (figure 6). En présence d'une tension de polarisation

, des charges surfaciques

apparaissent sur les faces en regard du condensateur.

1. En supposant les dimensions transverses des électrodes très grandes devant , préciser la direction du champ électrique au sein de l'isolant. Montrer aussi que ce champ est uniforme au sein du milieu isolant.
1. Déduire, par exemple du théorème de Gauss, la relation liant et la permittivité diélectrique du vide .
  . Calculer et définir puis exprimer la capacité du condensateur ainsi réalisé.

Figure 6 - Hygromètre capacitif en l'absence d'humidité

En milieu humide l'isolant se charge de molécules d'eau, décrites ici comme des dipôles électrostatiques qui, sur le schéma de la figure 7 , sont tous alignés sur la direction du champ électrique. Dans le volume central de l'isolant ces charges

se compensent deux à deux mais ce n'est pas le cas sur les surfaces supérieure et inférieure de l'isolant où on voit apparaître des charges surfaciques dites de dépolarisation

. On notera

la densité particulaire de dipôles électriques au sein de l'isolant et

la valeur moyenne de ces moments dipolaires moléculaires.

Figure 7 - Hygromètre capacitif avec isolant humide

1. Exprimer le moment dipolaire électrique total du milieu isolant en fonction de et . En déduire l'expression des charges surfaciques de dépolarisation en fonction de et seulement.

L'ensemble de l'électronique de mesure, y compris le condensateur sensible à l'hygrométrie, est thermostaté à la température

. En conséquence, l'alignement des dipôles moléculaires avec le champ électrostatique

n'est pas systématique puisqu'il est contrarié par l'agitation thermique. On rappelle ici l'expression

de l'énergie potentielle d'interaction d'un dipôle de moment dipolaire

avec un champ électrique extérieur

1. Quelles seraient les limites de à très basse et à très haute température ? Exprimer, en fonction du moment dipolaire individuel d'une molécule d'eau et de la constante de Boltzmann , une estimation de la température de transition entre ces deux limites basse et haute dans le champ électrostatique .
  . En pratique on a toujours et on peut montrer dans ce cas l'expression asymptotique de , que l'on admettra:

où la polarisabilité

est une constante à température fixée et pour un matériau isolant donné. Préciser la dimension ou l'unité de

dans le système international d'unités.

1. En déduire que la capacité du condensateur ainsi formé s'exprime en fonction de sous la forme dans laquelle on exprimera la permittivité relative en fonction de et .

La mesure de

est donc une mesure de

donc, au moyen d'un étalonnage à réaliser, une mesure électrique et interfaçable de l'hygrométrie ambiante.

II.C Mesures de position et de vitesse

Quelles que soient les techniques utilisées au début de l'exploration atmosphérique, les mesures de position et de vitesse des ballons-sondes font aujourd'hui appel aux systèmes de positionnement par satellite tels que le GPS (cf. photographie d'un satellite GPS sur la figure 8) ou ses équivalents européen Galileo, russe Glonass, chinois Compass, etc.
On considére ici que la Terre est immobile avec une répartition de masse à symétrie sphérique.

Figure 8 - Satellite GPS non lancé, musée de l'aéronautique de San Diego, photo S. Ehardt

1. Établir la relation liant, pour un satellite en orbite circulaire, la période , le rayon terrestre et l'altitude en fonction de la constante de gravitation et de la masse de la Terre.
  Quel est le nom de cette relation?
1. Les satellites du système GPS sont tous placés sur une orbite circulaire de période 12 h , plus basse donc que celle des satellites géostationnaires, qui sont eux à 36000 km d'altitude.
  En déduire la valeur numérique de l'altitude des trajectoires des satellites GPS.
  Il y a en permanence une trentaine de satellites GPS fonctionnels dont au moins 4 visibles au-dessus de l'horizon de n'importe quel point de la surface de la Terre. Chacun de ces quatre satellites émet en permanence un signal d'identification, sous forme d'une onde électromagnétique, qui précise en particulier l'instant d'émission du signal. La comparaison des instants de réception par un même récepteur GPS de ces quatre signaux permet de connaître les distances du récepteur aux quatre satellites puis d'accéder par le calcul aux coordonnées d'espace du récepteur : c'est le positionnement par satellite.

Ces mesures sont toutefois susceptibles d'être perturbées car les satellites GPS d'une part et les récepteurs d'autre part sont séparés par l'ionosphère, couche d'altitude comprise entre 100 et 800 km qu'on peut assimiler à un plasma, électriquement globalement neutre mais formé de molécules ionisées et d'électrons libres. Même si elle varie sensiblement dans le temps on supposera que la densité particulaire moyenne des électrons

est constante et on utilisera cette constante dans la modélisation.

1. En négligeant toute force autre qu'électromagnétique, expliciter l'équation différentielle qui régit la vitesse d'un électron de l'ionosphère en fonction du champ électromagnétique du signal émis par le satellite GPS qui traverse ce milieu. L'intensité du signal reste faible donc le mouvement des électrons est non relativiste.
  On admet pour ce signal une structure d'onde plane progressive se dirigeant vers le sol, dans le cas où le satellite émetteur est à la verticale du récepteur :

de vitesses de phase

et de groupe

proches de la célérité

dans le vide. En déduire qu'on peut établir, en notation complexe, une relation linéaire entre la densité volumique de courant électronique

et le champ électrique

1. Pour quelle raison peut-on négliger les contributions ioniques au courant total induit par le passage de l'onde dans le plasma?
  En déduire la relation de dispersion des ondes dans un tel plasma, qu'on mettra sous la forme et dans laquelle on explicitera la pulsation de plasma en fonction de et .
  Avec les données ci-dessus, on trouve numériquement .
1. Les signaux GPS sont émis aux fréquences et ; Exprimer pour ces fréquences.
  Exprimer l'erreur relative de l'approximation consistant à supposer que est égale à . Calculer cette erreur relative pour les 2 fréquences GPS.
1. Exprimer le décalage temporel lié à la traversée de la couche ionisée par rapport à une propagation qui se ferait entièrement dans le vide. En déduire l'imprécision sur la détermination de la distance entre le récepteur et le satellite. Donner un ordre de grandeur.
1. Quel est l'intérêt d'utiliser deux fréquences si on veut corriger l'imprécision liée à la traversée de l'ionosphère?

Constantes physiques, notations et données numériques

Champ de pesanteur au sol
Charge élémentaire
Célérité de la lumière dans le vide
Constante molaire des gaz parfaits
Constante d'Avogadro-Ampère
Constante de Boltzmann
Masse d'un électron
Masse molaire moyenne de l'air
Masse molaire de l'hélium
Masse molaire du dihydrogène
Permittivité diélectrique du vide
Pression au sol	bar
Rapport adiabatique de l'air
Rapport adiabatique de l'hélium
Rayon terrestre

Facteurs de conversion

On donne enfin