Durée de l'épreuve : 3 heures
L'emploi de tous documents (dictionnaires, imprimés ...) et de tous appareils (traductrices, calculatrices électroniques ...) est interdit dans cette épreuve.

Cette épreuve est commune aux candidats des filières MP, PC et PSI
Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente
sur la première page de la copie :

FRANÇAIS

L'énoncé de texte de cette épreuve comporte une seule page
Pour faciliter la correction de l'épreuve, les candidats écriront leur texte toutes les deux lignes.

Enquête autour de la source Grs 1915+105

La source de lumière astronomique Grs 1915+105 a été découverte en 1992 par le satellite franco-russe GRANAT. Elle est située dans notre galaxie. Dans le système de coordonnées équatoriales célestes, son ascension droite est de

et sa déclinaison est de

. Ses coordonnées astronomiques sont à l'origine de son nom. Sa distance à la Terre a été évaluée à environ 12 kpc .

Grs 1915+105 fut ensuite observée en 1994 avec le radio-télescope Very Large Array pendant une durée de quelques semaines qui permit d'établir avec certitude que Grs 1915+105 était le premier objet galactique exhibant le phénomène de jets dits «superluminiques ».

Ces différentes observations ont permis de déterminer la nature et les caractéristiques de cet objet qui est devenu le représentant emblématique de la famille des micro-quasars. Ce sujet reprend le fil de cette enquête autour de Grs

et propose une explication du phénomène de jet superluminique.

Pour les applications numériques on prendra :

Masse du Soleil :
Luminosité du Soleil :
Vitesse de la lumière
Rayon du Soleil :
Constante de la gravitation :

L'unité astronomique (ua) est la distance moyenne entre la Terre et le Soleil : 1 ua

. Le parsec (pc) est la distance à laquelle il faut se mettre du couple Terre-Soleil pour les voir séparés d'une seconde d'arc (

) :

L'objectif de cette enquête est de déterminer les caractéristiques physiques de l'objet Grs

. Une attention particulière sera donc portée aux résultats numériques qui seront, sauf indication particulière, donnés avec deux chiffres significatifs. Les vecteurs seront repérés par une flèche (

) sauf dans le cas unitaire où ils seront surmontés d'un chapeau (

). Cinq documents complémentaires sont fournis à la fin du sujet et seront discutés au fil des questions. L'indice

fait référence au Soleil.

I La nature de Grs 1915+105

1. A l'aide du document 1, indiquer dans quelle constellation se trouve Grs . Avec un seul chiffre significatif, quelle est sa distance à la Terre en années-lumière ?

I.A Une étoile normale?

Hypothèse 1
La source Grs 1915+105 est une étoile «ordinaire», c'est-à-dire une étoile comme le Soleil, qui puise son énergie dans la fusion nucléaire.

On considère une onde plane monochromatique, de fréquence

, se propageant dans le vide selon

. Son champ électrique est noté

. On appelle éclairement

la puissance moyenne transportée par l'onde par unité de surface perpendiculaire à sa direction de propagation.

1. Exprimer en fonction de et .

On considère à présent cette onde comme un faisceau de photons se propageant selon

. Ce faisceau de photons arrive perpendiculairement sur une paroi plane d'aire

1. Rappeler l'expression de l'énergie transportée par un photon puis exprimer le nombre de photons qui arrivent sur la paroi entre et , en fonction de , et de la constante de Planck .
  On suppose que la paroi absorbe totalement le rayonnement. Quelle est l'expression de la quantité de mouvement d'un photon d'après la relation de de Broglie?
  Exprimer la quantité de mouvement reçue par la paroi au cours d'un choc photon-paroi puis en déduire la force subie par la paroi de la part de l'ensemble des photons incidents.

On modélise une étoile par une sphère de rayon

, dont le noyau de masse

, supposé ponctuel, émet des photons qui se propagent vers la surface. On note

la luminosité ou puissance totale rayonnée par l'étoile.
On considère un élément de matière de masse

, situé à la surface de l'étoile, d'épaisseur négligeable et présentant une surface

perpendiculaire à la direction radiale (cf. figure 1).

1. Exprimer la force de radiation exercée par les photons sur l'élément de matière en fonction de et .
  La limite d'Eddington, notée , est une valeur de luminosité qu'une étoile ne peut pas dépasser. Au delà, la force de radiation prend le pas sur celle de gravitation et des constituants de l'étoile peuvent être éjectés.

Figure 1 - Modélisation

. Exprimer, notamment en fonction du rapport

, la luminosité maximale

permettant un équilibre entre force radiative et force gravitationnelle.

. Le rapport

est une constante indépendante des paramètres de l'étoile. En prenant

, exprimer la limite d'Eddington sous la forme

où

est un facteur que l'on déterminera et dont on précisera la valeur numérique. La luminosité de Grs

étant

, en déduire la valeur de la masse minimale de Grs

, exprimée en masses solaires.
Des étoiles avec de telles masses existent, ce sont des géantes bleues. Elles sont en moyenne 15 fois plus grosses que le Soleil.

. En utilisant le document 2, déterminer la plus petite échelle de variabilité temporelle de Grs

. En déduire le rayon maximum de cet objet, en supposant qu'il respecte la limite de causalité. Comparer avec le rayon moyen d'une géante bleue et conclure.

I.B Un objet compact?

Hypothèse 2

La source Grs

est un objet très compact (trou noir ou étoile à neutrons) en orbite avec une étoile ordinaire dont il arrache de la masse par accrétion.

1. Exprimer la variation d'énergie potentielle causée par l'accrétion d'un élément de masse , initialement situé à très grande distance de l'objet compact, vers la surface de cet objet compact de rayon . Donner sous la forme étant une constante à déterminer en fonction notamment des caractéristiques de l'objet compact.
  Déterminer la valeur numérique de cette constante dans le cas du Soleil et dans celui d'un objet compact de masse et de rayon 20 km. Commenter, sachant que le processus de fusion nucléaire, responsable de la production d'énergie dans les étoiles «normales», représente environ (voir document 3 ).

Figure 2 - Accrétion de masse

Pour un trou noir, le rayon de Schwarzschild, noté

, correspond à la distance en deçà de laquelle aucun objet (y compris un photon) ne peut échapper à l'attraction gravitationnelle de l'astre.

1. Exprimer l'énergie mécanique d'un objet ponctuel de masse , de vitesse , subissant une force d'attraction gravitationnelle de la part d'un astre de masse supposé ponctuel et situé à la distance .
  A quelle condition cet objet est-il dans un état de diffusion?
  En déduire l'expression de la vitesse de libération de l'objet en fonction de sa distance à l'astre attracteur.
  En considérant que l'on peut généraliser ce calcul classique aux photons, exprimer le rayon de Schwarzschild de l'astre attracteur en fonction de et .
1. Un calcul relativiste rigoureux conduit à estimer le rayon de la dernière orbite stable d'une particule gravitant autour du trou noir à . Quelle est alors la plus petite échelle de temps de variabilité attendue pour un trou noir de 100 masses solaires? Conclure.

II La nature de l'astre central

On admet dans cette partie que le système Grs

est constitué d'un objet compact, noté

de masse

, autour duquel gravite une étoile ordinaire que nous appellerons « compagnon

et qui sera notée

de masse

. Ces deux objets seront supposés ponctuels. On cherche ici à estimer la masse de l'objet compact, ce qui permettra de trancher sur sa nature : trou noir ou étoile à neutrons. Le référentiel d'étude

centré sur un point

est galiléen. On suppose que les seules interactions entre l'objet compact et son compagnon sont gravitationnelles.

. Ecrire les équations différentielles vérifiées par les vecteurs

. En déduire que le référentiel

centré sur le point

tel que

est galiléen. Sous quelle hypothèse le référentiel

, centré sur

, peut-il être supposé galiléen ? On fera cette hypothèse. Montrer alors que le mouvement de

dans

s'effectue dans un plan

On considère une source ponctuelle S se déplaçant à la vitesse

le long d'un axe

. Un détecteur D supposé immobile est placé hors de l'axe

. La source S émet des ondes de période

se propageant à la vitesse

. On note

la distance entre S et D à l'instant

cette distance à l'instant

. On note

l'angle entre le vecteur

et la direction du vecteur

1. Faire un schéma de la situation. Exprimer la période perçue par le détecteur en fonction de et . En supposant que et , en déduire l'expression de la fréquence perçue par le détecteur en fonction de la fréquence d'émission , de et . Comment se nomme ce phénomène?
  Dans le spectre de l'étoile compagnon, les fréquences des raies varient à cause du mouvement du compagnon autour de l'astre central. On peut alors en déduire une mesure de la vitesse du compagnon, projetée sur l'axe de visée. Pour simplifier, on suppose que la trajectoire du compagnon est circulaire, parcourue avec une vitesse uniforme .

On considère un premier cas représenté par la figure 3 ci-contre dans lequel l'observateur fixe se trouve «à l'infini» dans le plan orbital

du compagnon autour de l'objet compact. On note

la vitesse du compagnon projetée sur la ligne de visée et

son intensité.
-13. Reproduire et compléter le schéma en indiquant par des flèches la vitesse

et sa projection

pour une position quelconque du compagnon.
Quelles sont les extrema de

?
Indiquer les positions du compagnon correspondant aux extrema de

Figure 3 - Schématisation

A quel moment peut-on mesurer

En fait la ligne de visée n'est pas forcément contenue dans

. On définit alors le plan du ciel, noté

, orthogonal à l'axe de visée qui est matérialisé par la droite passant par l'observateur et l'objet compact. On note

l'angle d'inclinaison supposé constant entre

. Ces divers objets géométriques sont représentés sur la figure 4 .

Figure 4 - Plan du ciel et plan orbital

Déterminer les deux valeurs de l'angle correspondant à la plus petite et la plus grande valeur de la vitesse projetée mesurée.
Pour un angle quelconque, on définit les positions extrêmes du compagnon, où est maximale. Quelle est alors la relation entre et ?
Interpréter la courbe tracée dans le document 4 et proposer une valeur pour accompagnée d'une incertitude.
. On cherche à présent à relier la vitesse du compagnon aux caractéristiques de son orbite. Retrouver la troisième loi de Kepler en appliquant le principe fondamental de la dynamique au compagnon, dont l'orbite circulaire de rayon a une période autour de l'objet compact de masse .
En se basant sur le document 4, on peut définir une fonction dite «fonction de masse» ne dépendant que de et et telle que .
. Exprimer en fonction de et .
Calculer numériquement la valeur de (en masses solaires) et en déduire une masse minimale pour l'objet compact central de Grs .
En déduire la nature de l'objet compact accrétant de Grs 1915+105.

III Ejection par l'astre central

Lors d'une campagne d'observation réalisée au printemps 1994, les astronomes Félix Mirabel et Luis Rodríguez ont pu constater que l'objet central de Grs

a éjecté de la matière dans deux directions opposées. Ces éjectas ont été détectés grâce à la «lumière» qu'ils ont émise dans le domaine des ondes radio. Le document 5 montre des «clichés» de ces éjectas à quelques jours d'intervalle et permet de repérer leur position par rapport à la source centrale.

. Donner un ordre de grandeur des fréquences correspondant aux ondes radio.

. Sur la figure du document 5 , pourquoi peut-on affirmer sans calcul que la vitesse angulaire apparente des deux éjectas est uniforme? On fera cette hypothèse dans toute la suite. A partir des deux données extrêmes, exprimer (sous forme d'une fraction que l'on ne simplifiera pas) sa valeur en seconde d'arc par jour pour chaque ejecta.
Par des mesures indépendantes, on a pu déterminer que Grs 1915+105 est situé à 12 kpc de la Terre. En utilisant la définition du parsec, déduire la vitesse des deux éjectas en

. Commenter.

Pour interpréter ce résultat, on fait les hypothèses suivantes (éjectas polaires symétriques) :

On suppose que l'axe d'éjection est perpendiculaire au plan orbital ;
On suppose que les deux éjectas sont émis par la source centrale au même instant et se déplacent avec des vitesses opposées de norme constante.

Figure 5 - Géométrie d'une éjection polaire symétrique

Si chaque éjecta émet de la lumière à l'instant

, à quelles dates

les photons correspondants seront-ils reçus par un observateur situé sur la Terre à la distance

? En déduire l'expression des normes des vitesses apparentes

des deux éjectas (voir figure 5).

1. On étudie en particulier la fonction . Quelle relation doit vérifier l'angle pour que soit maximale ? Que vaut alors la vitesse maximale de ? On introduira le facteur de Lorentz .
  A quelle condition sur le mouvement apparent des éjectas est-il plus rapide que celui de la lumière?
1. Exprimer en fonction de et puis en fonction de et .

A l'aide des valeurs trouvées à la question 18, déterminer les valeurs numériques de

. Commenter la valeur de

1. A partir de tous les résultats obtenus estimer la valeur numérique de la masse de l'objet compact situé au cœur de Grs 1915+105.

Document 1 Carte du ciel dans l'hémisphère nord.

Document 2 Courbes de lumière de Grs

dans le domaine des rayons X lors de diverses campagnes d'observations (tirées de MNRAS 330, 487, 2002 et 324, 267, 2001)

On note clairement le caractère variable et périodique de la source à différentes échelles de temps. Chaque période est constituée d'un pic caractéristique d'une durée de l'ordre de P0. Chaque pic montre des évènements d'une durée maximale de l'ordre de P1 ou P2, eux-mêmes décomposés en sursauts d'une durée de l'ordre de P3. Ces pics sont périodiques et une analyse en fréquence sur de longues périodes a permis de montrer que la fréquence associée aux sursauts est de l'ordre de

. La variabilité temporelle

d'une source lumineuse astronomique correspond à la plus petite durée sur laquelle elle varie de façon périodique. Elle donne une limite sur sa taille caractéristique

. La vitesse de propagation d'un processus physique étant limitée par la vitesse de la lumière, on a toujours

: on parle de limite de causalité.

Document 3 : Evolution stellaire et caractéristiques des objets compacts.
En astrophysique, un objet compact est généralement le cadavre d'une étoile. Pendant leur phase active les étoiles sont dites «normales », elles équilibrent leur pression gravitationnelle en réalisant la fusion thermonucléaire d'éléments de plus en plus lourds. Les étoiles les plus légères ne peuvent aller plus loin que la fusion de l'hélium en carbone. Leur cadavre est alors une naine blanche dont la masse ne peut excéder

. Certaines étoiles plus massives peuvent aller jusqu'à la synthèse du fer et terminent généralement en étoile à neutrons dont la masse ne peut excéder

. En fin de cycle, les étoiles très massives ne peuvent plus contrebalancer la gravitation et s'effondrent en un trou noir.

Naine blanche	Etoile à neutrons	Trou noir
		pour
tonne	tonne	Pas de limite en masse

Document 4

Phasogramme du compagnon de Grs 1915+105. La vitesse projetée est tracée en fonction de la phase orbitale, qui varie de 0 à 1 lors d'une période de révolution. La période mesurée vaut 33,5 jours soit

secondes.

Document 5

Position au cours du temps de deux jets de matière émis par l'astre central de GRS 1915+105. La distance verticale entre les images est proportionnelle à la durée séparant les observations. La source centrale est repérée par une croix et est considérée comme fixe. Les deux éjectas sont initialement confondus avec la source centrale, dont ils s'éloignent peu à peu. Le tableau sur la droite donne les distances angulaires entre chaque éjecta et la source centrale.

Date	Dist. éjecta 1	Dist. éjecta 2
18 mars
27 mars
3 avril
9 avril
16 avril

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