SECONDE ÉPREUVE DE PHYSIQUE

PHYSIQUE II - PC

De la physique dans le tunnel de Fréjus

I. - Température dans le tunnel de Fréjus

Figure 1 - Tunnel de Fréjus

Figure 2 - Sol

I.A. - Évolutions saisonnières de la température dans le sol

• 1 - Calculer la moyenne temporelle de la température extérieure en . Calculer la température maximale et minimale. Proposer une valeur numérique pour pour les évolutions annuelles de température.
• 2 - Le flux thermique élémentaire, défini comme la quantité d'énergie traversant une surface élémentaire pendant , est noté . Rappeler la définition du vecteur , densité de flux thermique. Quelle est sa dimension?
• 3 - Rappeler la loi de Fourier, ainsi que ses conditions d'application. En déduire les dimensions de la conductivité thermique .
• 4 - On étudie une tranche mésoscopique de sol comprise entre et de surface . Quelle est l'énergie thermique reçue par cette tranche entre et ?
• 5 - Pourquoi étudie-t-on une tranche mésoscopique ?
• 6 - Établir l'expression de sa variation d'énergie interne en fonction de et puis en fonction de et .
  7- En déduire l'équation de la chaleur à une dimension dans laquelle on précisera l'expression et la dimension du coefficient de diffusion thermique.

• 8 - Interpréter cette forme de solution. Déterminer la relation de dispersion correspondante. En déduire l'expression de qu'on mettra sous la forme avec . Quelle est la signification physique de et . Déterminer l'expression correspondante de la solution réelle .
• 9 - Calculer la profondeur à partir de laquelle les oscillations annuelles de température ne s'écartent pas de de plus de . Que peut-on dire de la température dans le tunnel routier de Fréjus? Pour les roches granitiques constituant le Fréjus on donne , et SI.
• 10 - Que peut-on dire des variations quotidiennes de la température à la profondeur ? En terme de filtrage fréquentiel, comment se comporte le sol?

I.B. - Température d'origine géophysique

Figure 3 - Modèle géophysique

• 11 - Effectuer, en régime stationnaire, le bilan thermique dans une tranche de croûte terrestre de surface , comprise entre et .
• 12 - En déduire la température en fonction de : et la température moyenne de surface en .
• 13 - Exprimer le flux thermique total au niveau de la surface en .
• 14 - Comparer les deux termes proportionnels à et simplifier l'expression de . Calculer la température au centre du tunnel de Fréjus ( ) puis .

I.C. - Prise en compte du relief

• 16 - Toujours pour une surface plane d'équation , en utilisant la linéarité de l'équation satisfaite par la température, déterminer en considérant les sources internes d'énergie thermique.
• 17 - On considère ici que la topographie de la surface peut être représentée par l'équation . La température de la surface sera prise égale à celle de l'air ambiant et sera modélisée par . En effectuant un développement limité en à l'ordre 1 , exprimer la température en fonction de et . Déterminer en fonction notamment du flux d'énergie thermique à la surface . En déduire que que l'on peut écrire

FIN DE LA PARTIE I

II. - Radioactivité et effet tunnel

II.A. - Le quanton libre

• 18 - Une particule quantique (quanton) est localisée sur un axe ( ). L'état quantique de cette particule est caractérisé par une fonction d'onde : . Rappeler le postulat de Born donnant la probabilité que la particule se trouve dans l'intervalle à l'instant . En déduire la dimension de .
• 19 - Interpréter la propriété .
• - Quelle est la signification physique de ? En associant la probabilité de présence à un «c courant de probabilité >> donner sans démonstration l'équation de conservation de la probabilité de présence. On fera apparaître un vecteur appelé vecteur densité de courant de probabilité. Une analyse non demandée montre que dans le cas mono-dimensionnel

• - Rappeler ce qu'on entend par particule non relativiste. On cherche des états d'énergie stationnaire de la forme . Déterminer l'équation de Schrödinger indépendante du temps vérifiée par et la forme générale de en fonction notamment de et . Que peut-on dire de la probabilité de présence ?
  On définit une particule libre comme une particule de masse , d'impulsion et d'énergie évoluant dans une région d'énergie potentielle nulle.
• 22 - Déterminer la solution générale de l'équation de Schrödinger indépendante du temps pour une particule libre. Montrer que sa fonction d'onde est la somme de deux ondes planes se propageant en sens inverse.
• - Définir le vecteur d'onde que l'on peut associer à cette particule. Déterminer la relation entre et . Comment s'appelle cette relation?

II.B. - Effet tunnel

Figure 4 - Marche d'énergie potentielle

• - Rappeler brièvement ce que serait le comportement de ce quanton s'il était régi par la mécanique classique.
• - Déterminer la forme générale de la solution de l'équation de Schrödinger indépendante du temps dans la région I et III. On ne cherchera pas à déterminer les 2 constantes d'intégration qui apparaissent dans la région I ni celle qui apparaît dans la région III.
• - Déterminer la forme générale de la solution de l'équation de Schrödinger indépendante du temps dans la région II. On posera . Cette solution fait apparaître 2 constantes d'intégration que l'on ne cherchera pas à déterminer.
• 27 - Énoncer les propriétés générales de la fonction d'onde en et permettant d'écrire un système de 4 équations dont les 5 inconnues sont les constantes d'intégration des questions 25 et 26 . On ne cherchera pas à résoudre ce système. Quelle dernière hypothèse permet de définir complètement la fonction d'onde en tout point ?
• 28 - En utilisant l'équation (1) déterminer les courants de probabilité dans les régions I et III en fonction des constantes d'intégrations de la question 25. Comment peut-on interpréter ces deux courants? En déduire les coefficients de réflexion et de transmission caractérisant cette barrière d'énergie potentielle en fonction de ces mêmes constantes.
  Un calcul non demandé permet d'obtenir

• - On considère que le quanton est un électron de masse et d'énergie évoluant dans le potentiel décrit sur la figure 4 avec . Dresser un tableau des valeurs de et pour et . Définir ce que l'on appelle une barrière d'énergie potentielle épaisse et montrer que dans ce cas où l'on précisera l'expression de . En étudiant les variations de pour , déduire que pour une barrière épaisse, l'on peut écrire .

II.C. - Radioactivité

Figure 5 - Allure de l'énergie de potentielle

• pour des grandes valeurs de , cette énergie potentielle correspond à la répulsion électrostatique, et présente donc un profil coulombien de la forme
• pour , les interactions nucléaires attractives interviennent et l'énergie potentielle est un puits très profond.
• pour l'uranium 238: et . La mesure de l'énergie des particules émises par ce noyau donne une valeur proche de .
• 30 - Déterminer l'expression de la constante en fonction de et de la charge élémentaire . En déduire la hauteur de la barrière d'énergie potentielle à franchir. Calculer la distance à laquelle l'énergie potentielle coulombienne est égale à . Donner un ordre de grandeur de la largeur de la barrière d'énergie potentielle à franchir. Peut-on considérer que la barrière est épaisse? On donne la masse de la particule et on rappelle que .

Figure 6 - Approximation de la barrière.

• 31 - En généralisant le résultat obtenu pour en fonction de , déterminer en fonction de et . En considérant, pour simplifier la suite du calcul, que , établir la relation

• 32 - On admettra que

• 33 - En considérant que la particule fait des aller-retour dans une région d'extension et que l'on peut obtenir un ordre de grandeur de la vitesse de la parti-

Figure 7 - Loi de Geiger-Nuttall

• 34 - Comparer les résultats précédents à ceux que l'on peut déduire des mesures rassemblées sur la figure 7 .

FIN DE LA PARTIE II

FIN DE L'ÉPREUVE