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Mines Physique 2 PC 2012

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Mines
Année
2012
Filière
PC
Matière
Physique
Mines PCMines 2012PC PhysiquePhysique 2012
2025_09_04_c81f6e213fde8b4a9b7cg
ÉCOLE DES PONTS PARISTECH SUPAERO (ISAE), ENSTA PARISTECH, TELECOM PARISTECH, MINES PARISTECH, MINES DE SAINT-ÉTIENNE, MINES DE NANCY, TÉLÉCOM BRETAGNE, ENSAE PARISTECH (FILIÈRE MP) ÉCOLE POLYTECHNIQUE (FILIÈRE TSI)
CONCOURS D'ADMISSION 2012
SECONDE ÉPREUVE DE PHYSIQUE
Filière PC
(Durée de l'épreuve: 4 heures)
L'usage de la calculatrice est autorisé
Sujet mis à disposition des concours : Cycle international, ENSTIM, TELECOM INT, TPE-EIVP
Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie :
PHYSIQUE II - PC.
L'énoncé de cette épreuve comporte 7 pages.
  • Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il est invité à le signaler sur sa copie et à poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il aura été amené à prendre.
  • Il ne faudra pas hésiter à formuler les commentaires (incluant des considérations numériques) qui vous sembleront pertinents, même lorsque l'énoncé ne le demande pas explicitement. Le barème tiendra compte de ces initiatives ainsi que des qualités de rédaction de la copie.

UN SOIR D'ÉTÉ

Même dans la douceur d'un soir d'été, un physicien cherche à modéliser les phénomènes qui l'entourent : l'eau de la piscine (partie I), les mouvements d'un insecte pris au piège d'une toile d'araignée (partie II) ou les battements des ailes des papillons (partie III).
Les vecteurs sont surmontés d'un chapeau s'ils sont unitaires : ; ou d'une flèche dans le cas général: . Pour les applications numériques, trois chiffres significatifs sont recquis. Les nombres complexes sont soulignés mis à part .

I. - L'eau dans la piscine

L'eau contenue dans une piscine rectangulaire est assimilée à un fluide parfait (non visqueux) caractérisé par une masse volumique au repos . On note l'accélération de la pesanteur. Dans cette partie, on s'intéresse à deux questions I.A (est-il possible, lorsqu'on parle au bord de la piscine, d'être entendu par un nageur plongé sous l'eau?) et I.B (quelle est l'origine du << clapotis >> à la surface libre de l'eau ?) qui sont d'ailleurs totalement indépendantes.

I.A. - Parler dans l'air, entendre dans l'eau?

Dans cette partie I.A, on tient compte de la compressibilité isentropique SI de l'eau, supposée constante dans les conditions de la propagation des ondes acoustiques (ondes de compression de faible amplitude). On note le rapport des capacités thermiques massiques à pression constante et à volume constant . Pour un gaz de molécules diatomiques rigides on rappelle que et .
- Rappeler la définition et l'unité de mesure de la compressibilité . Comparer, dans les conditions normales de température et de pression, les valeurs de et celle de la compressibilité isentropique d'un gaz parfait diatomique.
On note ( ) la verticale ascendante, la pression atmosphérique. En présence d'une onde acoustique, en un point repéré par le vecteur à l'instant on admet que la pression , la densité volumique de masse et le champ de vitesse dans le fluide se mettent sous la forme
La vitesse correspond à celle des particules de fluide à l'équilibre dans le référentiel galiléen considéré. On peut donc choisir un référentiel dans lequel le fluide est au repos à l'équilibre et donc .
  • 2 - En utilisant l'équation d'Euler, exprimer, à l'ordre , la dérivée en fonction de , et . On suppose que l'onde acoustique est harmonique de longueur d'onde . Déterminer l'expression d'une longueur telle que
On exprimera en fonction de et . Calculer la valeur numérique de . Que peut-on en conclure?
-3-En exprimant, au même ordre, la loi locale de conservation de la masse, établir l'équation aux dérivées partielles du second ordre vérifiée par . Quelle signification donner à ? Calculer sa valeur numérique.
L'air a pour masse volumique au repos et pour compressibilité isentropique SI. L'appel du professeur (dans l'air) au nageur (dans l'eau) est modélisé par la propagation d'une onde acoustique plane progressive, de fréquence , qui atteint la surface horizontale de l'eau sous l'incidence ; elle donne lieu à la propagation d'une onde réfractée sous l'angle . La géométrie du problème est représentée sur la figure 1 .
Figure 1 - Réfraction d'une onde acoustique à la surface de l'eau
  • 4 - Déterminer la représentation complexe de l'onde de pression associée à l'onde incidente. On exprimera en fonction de et , on notera son amplitude et on choisira la phase de cette onde nulle au point origine des coordonnées.
  • 5 - Montrer que l'onde réfractée possède la même fréquence que l'onde incidente et déterminer la direction de la propagation de cette onde. Que dire de l'onde réfractée si ? A quelle condition nécessaire sur l'appel du professeur peut-il être entendu?
Afin de préciser les conditions de transfert de la puissance acoustique de l'air dans l'eau, on étudie dans les questions 6 à 8 une onde acoustique se propageant en incidence normale ( ) depuis l'air vers l'interface qui sépare l'eau de l'air.
  • 6 - Déterminer les expressions des représentations complexes des ondes réfléchie (notée ) et transmise (notée ) en fonction de ou et des coefficients de réflexion ou de transmission de l'onde de pression incidente.
  • 7 - Déterminer les expressions des représentations complexes des vitesses de déplacement de fluide associées à ces trois ondes; on les écrira en fonction de ou ou et . En déduire les expressions des coefficients et à l'interface air-eau, en admettant la continuité de la pression de part et d'autre de cette interface.
    - Définir le coefficient de transmission de l'intensité acoustique d'un milieu 1 vers un milieu 2. Montrer que dans le cas de la transmission d'une onde sonore de l'air vers l'eau
Calculer la valeur numérique de . Que peut-on en conclure?

I.B. - Le clapotis de l'eau dans la piscine

On mène à présent l'étude des oscillations de la surface de l'eau de la piscine. Cette dernière est un parallélépipède de longueur , de largeur et de profondeur . L'air qui la surmonte sera considéré comme un fluide de pression uniformément égale à en ; l'accélération de la pesanteur est .
Pour étudier les oscillations de sa surface, on assimile l'eau à un fluide incompressible, non visqueux dont la densité volumique de masse est constante. On néglige toutes les forces autres que de pesanteur et de pression.
Dans ces conditions, on recherche des solutions aux équations de l'hydrodynamique sous la forme d'ondes planes caractérisées par une vitesse de propagation (vitesse de phase) , où et est un vecteur unitaire du plan horizontal ( ). Les ondes planes associées aux champs de pression et de vitesse ont pour pulsation et pour vecteur d'onde .
- Dans le cadre du modèle proposé, rappeler l'expression générale du champ d'accélération dans l'eau. Montrer que l'approximation permet d'en proposer une forme simplifiée que l'on utilisera dans la suite de cette partie.
- Justifier que l'écoulement non stationnaire de l'eau peut alors être décrit comme irrotationnel ou potentiel: . Montrer qu'à un choix près de l'origine des potentiels (que l'on justifiera avec soin), on peut établir en l'équation
11 - On cherche le potentiel des vitesses sous la forme . Expliciter, sous cette hypothèse, la condition aux limites en , à la limite de la surface libre de l'eau; puis, justifier la condition décrivant l'écoulement au fond de la piscine : .
- En considérant l'équation locale de conservation de la matière, établir l'équation différentielle du second ordre vérifiée par . En utilisant la condition sur le fond de la piscine déterminer l'expression de en fonction de et . On utilisera la fonction cosinus hyperbolique.
- En utilisant la condition sur la surface libre, établir enfin l'expression reliant la vitesse de phase des ondes de surface et la pulsation avec les paramètres et .
14 - Le clapotis de l'eau dans la piscine se traduit par un bruit parfaitement audible car la fréquence des oscillations peut se trouver dans le même domaine que les ondes sonores audibles dans l'air. Proposer une valeur raisonnable pour et en déduire, dans une approximation de grande profondeur (que l'on vérifiera et que l'on conservera dans la suite) la valeur correspondante de .
  • 15 - En justifiant votre réponse, diriez-vous que ces ondes de surface sont dispersées ou non dispersées? Montrer que, dans l'approximation retenue, la vitesse de groupe de ces ondes est telle que où l'on déterminera .

FIN DE LA PARTIE I

II. - La toile de l'araignée

Ayant abandonné l'idée d'être entendu d'un nageur dans la piscine, le physicien commence une promenade dans le jardin qui l'amène à s'arrêter en admiration devant une toile d'araignée. Les fils en sont-ils aussi solides qu'on le dit? Cette partie se propose de répondre à la question.

II.A. - Modélisation d'un fil élastique

- On considère d'abord un ressort élastique, régi par la loi de Hooke, dont on note la raideur et la longueur à vide; on note aussi la souplesse du ressort. Quelle est la force exercée par ce ressort sur son extrémité lorsqu'il acquiert la longueur ? On précisera le sens de cette force sur un schéma.
- On associe en série (cf. figure 2-a) deux ressorts élastiques, alignés, de raideurs et , de longueur à vide et , formant un système élastique unique de longueur totale . Montrer que l'ensemble est équivalent à un ressort élastique unique de longueur à vide dont on exprimera la constante de raideur en fonction de et . Ce ressort est-il plus souple ou plus raide que chacun des deux ressorts dont il est formé ?
Figure 2 - Association de deux ressorts en série (a) et en parallèle (b)
- On associe maintenant en parallèle (cf. figure 2-b) les deux ressorts élastiques de la question précédente formant un système élastique unique de longueur . Déterminer la raideur et la longueur à vide du ressort élastique unique équivalent à cette association; Commenter sa souplesse.
- En vous appuyant sur les résultats des questions 17 et 18, expliquez pourquoi la force exercée sur une de ses extrémités par un fil élastique de longueur , de section , peut être décrite par une loi analogue à celle qui régit les ressorts élastiques (loi de Hooke) avec pour constante de raideur du fil , la constante , caractéristique du matériau dont il est constitué, est appelée module d'Young du fil. Montrer l'analogie de cette expression avec une relation, issue de votre programme, liée aussi aux lois d'association en série ou en parallèle.
Pour mesurer le module d'Young d'un fil d'araignée, le physicien procède à l'expérience suivante :
il prélève sur une toile un fil d'araignée cylindrique, de rayon , de section constante , de longueur à vide , et il le fixe en deux points fixes situés sur une même horizontale, distants de . Il attache alors, en un point du fil, un hameçon muni d'un ou plusieurs plombs de pêche; le module du poids de l'ensemble est noté (cf. figure 3). Le fil élastique se tend et prend à l'équilibre une forme en , les deux segments du fil, de longueurs et , formant avec l'horizontale les angles et positifs et dans l'intervalle . On peut aussi noter la flèche du fil, c'est-à-dire la hauteur du
Figure 3 - Mesure du module d'Young d'un fil
point d'attache de l'hameçon sous l'horizontale, à l'équilibre.
- Établir, à l'équilibre du fil, les expressions des modules et des forces et exercées par les deux brins de fil, de longueurs respectives et , sur le point d'attache de l'hameçon, en fonction de et .
- Établir les expressions de et en fonction de et .
- On suppose que la section du fil reste constante pendant l'étirement et que les forces et peuvent être modélisées par la loi de Hooke décrite à la question 19. Montrer que la grandeur est solution de l'équation . Exprimer en fonction des paramètres
Pour chaque mesure, on note, en fonction du nombre de plombs de pêche attachés à l'hameçon, les valeurs de et (mesurés), de et (calculés comme à la question 21), de et (calculés comme à la question 20) avant d'en déduire la valeur de (en résolvant l'équation du second degré proposée à la question 22). Le tableau proposé ci-après correspond à .
1 0,711 1,84 1,79 13,9 14,3 1,45 1,46 46,6
3 2,07 1,68 2,01 19,2 15,9 3,46 3,40 71,1
4 2,74 1,45 2,30
5 3,42 1,56 2,24 26,8 18,3 4,59 4,31 55,7
6 4,10 1,62 2,24 28,8 20,4 5,08 4,75 50,6
7 4,77 2,32 1,56 20,1 30,7 5,29 5,78 53,7

23 - Compléter la ligne manquante du tableau.

- Le rayon du fil utilisé est mesuré au microscope : . En déduire une estimation du module d'Young du fil, et la précision de cette estimation. Quelle est la dimension ou l'unité de ?

II.B. - Oscillations de la toile complète

On étudie maintenant la toile complète, qui sera, dans la situation de repos, modélisée comme une structure circulaire horizontale comportant des fils radiaux disposés aux angles , avec ; le nombre de rayons de la toile est donc . Ces fils sont tramés avec des fils circulaires disposés régulièrement aux rayons où , le tout est représenté sur la figure 4. Le bord circulaire ( ) de la toile est horizontal, rigidement fixé à la végétation, de rayon .
Figure 4 - Modèle de toile d'araignée au repos (a) ou déformée (b)
Figure 4 - Modèle de toile d'araignée au repos (a) ou déformée (b)
On ne s'intéresse qu'aux oscillations de la toile respectant la symétrie de révolution; les fils de la toile sont tous au repos lorsque la toile est plane. Un insecte, pris au piège au centre de la toile, provoque la déformation de la toile; on suppose qu'elle forme alors un cône d'axe vertical ( ) et d'angle au sommet . On notera la masse de l'insecte fixé au centre de la toile (donc au sommet du cône et on négligera la masse des fils de la toile.
- Au cours du mouvement, comment évolue la longueur des fils circulaires (de longueur au repos )? Même question pour les fils radiaux (de longueur au repos égale au rayon de la toile : ).
Chacun des fils de la toile, de longueur au repos , exerce sur chacune de ses extrémités, lorsqu'il est étiré à la longueur , une force de rappel de norme où ne dépend que de la section constante du fil et de son module d'Young .
- Montrer que la position de l'insecte sur la toile vérifie l'équation différentielle
où on précisera la fonction .
- Montrer que l'étude des petits mouvements de l'insecte autour de sa position d'équilibre, repérée par , conduit à l'équation différentielle
Pour , on obtient ; que peut-on en conclure? La période des petites oscillations dépend-elle de la masse de l'insecte?

FIN DE LA PARTIE II

III. - Le vol des papillons

Attristé peut-être par le sort de l'insecte piégé au centre de la toile, notre physicien s'intéresse enfin au vol des papillons. Ceux-ci, de taille et de forme variée, présentent, à l'œil exercé du physicien (et entomologiste amateur) une propriété remarquable : plus ils sont petits, plus le battement de leurs ailes est rapide. Nous nous proposons de rendre compte de cette propriété dans le cadre d'une simple analyse de facteurs significatifs. Ainsi, l'étude d'une famille d'animaux de même forme (homothétiques) mais de dimensions variables conduit à affirmer que la surface des ailes est simplement proportionnelle au carré de leur dimension caractéristique , ce qu'on écrira ; cette notation signifie que , où est une certaine constante (fonction par exemple de la forme des ailes) qu'on ne cherche pas à déterminer.
L'étude des facteurs significatifs peut être menée par une étude de diagrammes logarithmiques, à partir par exemple du tableau de données expérimentales ci-après qui donne, pour différentes espèces, des mesures de l'envergure des ailes (plus grande distance de l'aile au point milieu de l'abdomen), de la longueur du corps (de la tête à la queue) et de la fréquence du battement des ailes en vol (mesurée par des caméras rapides).
Espèce Photo
Troides radamantus 65 46 9
Papilio rumanzovia 61 35 10
Pachliopta hector 44 27 13
Graphium sarpedon 39 25 16
Precis iphita 33 21 19
Calospila idmon 15 11 32
  • 28 - Par une étude précise (le tracé d'un diagramme logarithmique par exemple), montrer l'existence d'un exposant a décrivant, pour l'ensemble des espèces citées dans ce tableau, une relation entre dimensions, sous la forme . Commenter la valeur de ainsi déterminée.
  • 29 - Le papillon en vol équilibre les forces de volume (pesanteur, poussée d'Archimède) et les forces de surface (forces de contact des pattes avec les supports) par une force de poussée hydrodynamique. Les forces de surface suivent bien une loi d'échelle avec pour facteur significatif , dont on admettra qu'on peut l'écrire . Justifier l'existence d'une relation du type et préciser la valeur de .
    - La force de poussée hydrodynamique due aux battements des ailes ne dépend que de la masse volumique de l'air, de la surface des ailes et de la fréquence du battement des ailes. En admettant une expression du type , déterminer les entiers et par analyse dimensionnelle.
    - Le vol (stationnaire) du papillon est régi par une loi mécanique du type , où l'un des deux termes (de surface ou de volume ) est prépondérant. En supposant que , déterminer les valeurs de correspondant au fait que ou soit prépondérant.
    - A partir des données expérimentales déterminer celui des deux termes ou qui est effectivement prépondérant.

FIN DE LA PARTIE III

FIN DE L'ÉPREUVE

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