J-0
00m
00j
00h
00min
00s

Version interactive avec LaTeX compilé

Télécharger PDF

Mines Physique 2 MP 2018

Notez ce sujet en cliquant sur l'étoile
0.0(0 votes)
Logo mines
🔗 Explorer
Banque
Mines
Année
2018
Filière
MP
Matière
Physique
Mines MPMines 2018MP PhysiquePhysique 2018
2025_09_04_197e5b69db15c9d2d36cg

ÉCOLE DES PONTS PARISTECH, ISAE-SUPAERO, ENSTA PARISTECH, TÉLÉCOM PARISTECH, MINES PARISTECH, MINES SAINT-ÉTIENNE, MINES NANCY, IMT Atlantique (ex Télécom Bretagne), ENSAE PARISTECH .

Concours Centrale-Supélec (Cycle international), Concours Mines-Télécom, Concours Commun TPE/EIVP.
CONCOURS 2018

SECONDE ÉPREUVE DE PHYSIQUE

(Durée de l'épreuve: 3 heures)
L'usage de la calculatrice et de tout dispositif électronique est interdit.
Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie :
PHYSIQUE II - MP
L'énoncé de cette épreuve comporte 6 pages de texte.
Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

Et pour un neutron de plus

Dans l'ensemble du sujet, les vecteurs sont surmontés d'une flèche en général : ; les vecteurs unitaires sont notés . Pour les notations complexes, on écrira et on adoptera la notation ou bien pour décrire une fonction du temps sinusoïdale, . Un point sur une fonction désigne sa dérivée totale par rapport au temps : .
Les positions dans l'espace seront repérées en coordonnées cartésiennes ( ), rapportées à la base orthonormée ( ), ou bien en coordonnées sphériques ( ), rapportées à la base orthonormée locale ( . désigne l'ensemble des entiers naturels, l'ensemble des entiers strictement positifs.
Le sujet porte sur l'étude classique puis quantique du noyau et de l'atome de deutérium (également appelé hydrogène lourd). Le deutérium (symbole D ou bien ) est un des deux isotopes stables de l'hydrogène. Le noyau du deutérium , connu sous le nom de deuton, contient un proton et un neutron, tandis que le noyau de l'isotope le plus répandu de l'hydrogène ne contient qu'un proton, . L'abondance naturelle du deutérium dans les océans de la Terre sous forme d'eau semi-lourde (HDO) ou lourde ( ) ) est d'environ un atome pour 6420 atomes d'hydrogène.
Ce problème comporte trois parties complètement indépendantes : I, II et III; pour chacune de ces parties, certaines questions peuvent également être abordées de manière indépendante, à condition d'admettre éventuellement certains résultats affirmés par l'énoncé. La partie est une introduction sur les proportions de masse. La partie II décrit, en mécanique classique les propriétés générales de l'atome de deutérium, puis de son noyau, le deuton, et leur application à la découverte du Deutérium par Urey en 1931. La partie III décrit, en mécanique quantique, certaines propriétés générales des interactions à forces centrales, avant de les appliquer à l'étude du noyau du deuton.
Les notations, valeurs des constantes fondamentales et les autres données numériques nécessaires à la résolution du problème sont regroupées dans un tableau à la fin de l'énoncé. Les applications numériques comporteront au mieux deux chiffres significatifs.

I. - Masses du deuton et du deutérium

  • 1 - Quelle est la proportion en masse du deutérium dans l'hydrogène océanique?
  • 2 - Quelle est la proportion en masse du deuton (le noyau) dans le deutérium (l'atome) ?
  • - Comparer les proportions (en nombres de molécules) de l'eau lourde et de l'eau semi-lourde HDO dans les océans. On précisera les hypothèses nécessaires à cette comparaison.
Le premier échantillon d'eau lourde a été isolé par le physicien Gilbert Lewis en 1933 puis une production industrielle par électrolyse a été mise en pratique par
Figure 1 - Échantillon d'eau lourde fabriqué par Norsk Hydro, photographie © Alchemist-hp.
l'entreprise norvégiènne Norsk Hydro de 1934 à 1943.
  • 4 - Citez des applications industrielles de l'eau lourde.

II. - Étude classique de l'atome de deutérium

L'étude classique des propriétés de l'atome de deutérium (formé de son noyau, le deuton, et d'un unique électron) est elle-même divisée en deux sous-parties indépendantes : l'étude des raies d'émission de l'atome de deutérium (II.A) et l'influence de l'effet Doppler sur leur mesure (II.B).

II.A. - Spectroscopie atomique et découverte du deutérium

Un atome d'hydrogène (ou de deutérium) est constitué d'un électron unique, de charge , de masse , soumis à l'interaction coulombienne d'un noyau supposé fixe à l'origine des coordonnées. Les valeurs de l'énergie de cet électron sont quantifiées et données par la relation
L'état fondamental est celui d'énergie minimale, il correspond donc à et sa valeur numérique est .
- On appelle série de Balmer l'ensemble des raies d'émission d'un atome d'hydrogène associées à une transition d'un niveau excité (avec ) vers le niveau . Exprimer les longueurs d'onde associées à ces transitions en fonction de , de la constante de Planck et de la célérité de la lumière dans le vide . Calculer numériquement les longueurs d'onde et ; quel est le domaine spectral associé?
On peut établir, et on admettra, que la prise en compte des (faibles) mouvements du noyau atomique amène à remplacer, dans toutes les équations ci-dessus, la masse par où est la masse du noyau : dans le cas de l'hydrogène ordinaire et dans le cas de l'hydrogène lourd (ou deutérium) ou D .
- Pour une des raies de la série de Balmer, on note (avec ) la longueur d'onde émise par un atome d'hydrogène ordinaire, la longueur d'onde émise par un atome de deutérium et l'écart relatif associé. Montrer que où est une entier que l'on déterminera; calculer ; quelle conséquence en déduisez-vous quant à l'identification spectroscopique du deutérium?

II.B. - Rôle de la température de l'échantillon

Compte-tenu de la faible proportion des atomes de deutérium dans un échantillon naturel, la détection des raies d'émission (à la longueur d'onde ) du deutérium, et donc l'identification de celui-ci, nécessite que les raies d'émission << majoritaires >> de l'hydrogène (à la longueur d'onde ) ne recouvrent pas les raies du deutérium. En d'autres termes, la largeur naturelle des raies d'émission de l'hydrogène doit vérifier (où l'écart relatif a été introduit ci-dessus, question 6). Pour cette étude, l'atome d'hydrogène, émetteur du rayonnement étudié, sera assimilé à un point matériel de masse ; il sera étudié dans le cadre de la mécanique classique (c'est-à-dire ni quantique, ni relativiste).
Cette largeur naturelle des raies d'émission est essentiellement liée à l'agitation thermique de la source d'émission; on va donc établir le lien liant la pulsation effective d'émission par un atome d'hydrogène, et la pulsation apparente à laquelle l'onde sera observée, en fonction de la vitesse relative de cet atome et du récepteur.
Considérons deux référentiels et en mouvement relatif, entièrement caractérisé par la vitesse de relativement à ( ) et par la vitesse angulaire de rotation de ( ) relativement à ( ).
  • 7 - Rappeler l'expression générale de la loi de composition des vitesses reliant les vitesses et d'un même point mobile relativement aux référentiels ( ) et ( ).
Le référentiel Oxyz est celui du laboratoire; le référentiel est attaché à un point mobile mais les vecteurs directeurs des axes des deux référentiels sont identiques, et . Enfin, la vitesse de relativement à est , elle est supposé constante.
- Montrer, en application de la loi de composition, que les coordonnées ( ) dans ( ) et ( ) dans ( ) d'un même événement vérifient les relations :
où et sont certaines constantes.
Un récepteur de lumière, fixe dans le référentiel ( ), et situé à grande distance de l'émetteur , reçoit une onde électromagnétique émise, dans le vide, dans la direction . L'émetteur est un atome d'hydrogène et la grandeur lumineuse associée à cette onde s'écrit en notation complexe.
  • 9 - Quelle relation lie et ?
  • 10 - Déterminer l'expression de l'onde , dans le référentiel ( ) de sa mesure, en fonction de et . En déduire qu'elle est observée à une pulsation apparente que l'on déterminera en fonction de et de certaines composantes de . Cette relation caractérise l'effet Doppler.
L'émetteur est un atome d'hydrogène au sein d'un échantillon thermostaté à la température ; en conséquence, sa vitesse varie de manière aléatoire (agitation thermique) avec la loi de distribution de Boltzmann : le nombre d'atomes dont la composante prend une valeur comprise entre et est .
11- Exprimer en fonction de et de certaines constantes physiques. On ne cherchera pas à calculer .
  • 12 - Tracer la courbe représentative de en fonction de .
Dans le cas d'une courbe gaussienne comme celle tracée ci-dessous, on définit la largeur de la courbe comme l'écart , où et sont les deux valeurs de correspondant à des points d'inflexion de la courbe.
13- Exprimer la largeur de la courbe ( ), en fonction de , de la constante de Boltzmann et de la masse de l'atome d'hydrogène; commenter.
- En déduire l'allure de la courbe de distribution des pulsations mesurées et calculer sa largeur , définie comme ci-dessus.
15 - En pratique, on impose le critère de détection . Calculer numériquement la température caractéristique à laquelle doit se dérouler l'expérience afin de pouvoir identifier spectroscopiquement le deutérium. Conclure.

III. - Le deuton

III.A. - Potentiels radiaux en physique quantique

L'étude d'un système de deux particules ponctuelles de masses et , si tuées en et et telles que est réalisée en utilisant les coordonnées sphériques ( ) pour le vecteur . Les particules sont en interaction, décrite par l'énergie potentielle ; la probabilité d'observer une particule dans l'élément de volume entourant le point est donnée par , où la fonction d'onde est solution de l'équation de Schrödinger, où est l'opérateur de Laplace ou laplacien; le coefficient qui remplace, dans cette équation, la masse d'une particule unique, est donné par . On rappelle aussi l'expression de l'opérateur laplacien en coordonnées sphériques :
On cherche une solution de l'équation de Schrödinger sous la forme .
16 - Indiquer et justifier brièvement l'expression liant l'énergie d'un tel état et la pulsation .
  • 17 - Montrer que et vérifient les deux équations
où est une certaine constante.
On rappelle les résultats de la mécanique classique pour l'étude du mouvement d'une particule de masse en mouvement dans un champ de forces centrales décrit par l'énergie potentielle :
  • le mouvement est plan et peut, dans ce plan, être décrit en coordonnées polaires ;
  • le moment cinétique est constant, directement perpendiculaire au plan du mouvement avec pour moment cinétique ;
  • le mouvement est entièrement décrit par la conservation de l'énergie , où l'énergie potentielle effective a pour expression .
  • 18 - Précisez, dans l'équation vérifiée par établie ci-dessus, les expressions analogues de l'énergie cinétique radiale , de l'énergie potentielle effective et du moment cinétique .
    - Quelle serait la valeur de la constante pour une fonction d'onde purement radiale? On ne fera pas nécessairement cette hypothèse dans les questions qui suivent.
    - On procède à une nouvelle séparation des variables en posant . établir les équations différentielles vérifiées par et .
  • - Justifier le plus précisement possible le fait, qu'à une constante multiplicative près, que l'on peut imposer où .
22 - On peut montrer, et on admettra, que les solutions de l'équation différentielle vérifiée par sont des polynômes de degré avec de la variable :
En ne considérant que le terme de plus haut degré, exprimer en fonction de seulement. Quel est le moment cinétique pour une fonction d'onde caractérisée par ?

III.B. - Énergie de liaison du deuton

Le deuton est le noyau de l'atome de deutérium , formé d'un neutron et d'un proton. Il s'agit d'un des très rares noyaux stables comportant un nombre impair à la fois de neutrons et de protons (avec et ); en effet, de tels noyaux impairs-impairs sont en général peu ou pas stables. L'énergie de liaison du deuton est faible ( seulement) et il n'a qu'un état fondamental, de moment cinétique nul (nombre quantique orbital ) et pas d'état excité stable.
On considère les états liés stationnaires d'une particule de masse dans le puits de potentiel défini par :
avec . On écrit la fonction d'onde indépendante du temps d'un état lié ( ), à symétrie de révolution (radiale), où est solution de l'équation radiale
Dont les solutions sont de la forme pour , et pour .
  • - Justifier ces formes et exprimer et en fonction de et .
    - Expliciter les conditions de raccordement en .
  • 25 - On pose et . Écrire deux relations distinctes liant et en fonction de , indépendamment des valeurs des constantes et (qu'on ne cherchera pas à expliciter).
26-Représenter graphiquement, sur un système d'axes ( ), les deux relations établies à la question précédente.
27- Montrer qu'il n'existe d'état lié que si est supérieur à une certaine valeur que l'on déterminera en fonction de et .
28-Quelle est la valeur maximale de pour qu'il n'existe qu'un seul état lié?
On utilise ce modèle pour décrire l'interaction nucléaire entre un neutron et un proton, formant le deuton (noyau de l'atome de deutérium). Le rayon du deuton est ; la masse est la masse réduite du deuton, . L'expérience montre qu'il n'existe qu'un seul état lié, d'énergie .
  • 29 - En déduire que, dans ce modèle, et calculer et en MeV .
  • - Que vaut l'énergie de liaison si ?
    - L'énergie de liaison du deuton est . Comparer à ; en déduire que est proche de .
  • 32 - En explicitant les relations établies ci-dessus entre et pour proche de , montrer que .
    - Calculer en MeV et comparer à .

FIN DE L'ÉPREUVE

Le tableau ci-après récapitule les valeurs de certaines grandeurs physiques ou constantes fondamentales.
Célérité de la lumière dans le vide
Charge élémentaire
Constante de Boltzmann
Constante de Planck
Constante de Dirac
Masse de l'électron
Masse du proton
Masse du neutron
Permittivité diélectrique du vide
Température d'ébullition de l'azote (sous 1 bar)
Température d'ébullition de l'hydrogène (sous 1 bar)
Mines Physique 2 MP 2018 - Version Web LaTeX | WikiPrépa | WikiPrépa