(Durée de l'épreuve : heures; l'usage de la calculatrice est autorisé)

Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie :
Physique II - Filière MP
L'énoncé de cette épreuve, particulière aux candidats de la filière MP, comporte 8 pages.

L'hypothèse selon laquelle le champ magnétique terrestre n'aurait pas eu une polarité constante au cours du temps a été formulée pour la première fois par le géophysicien français Bernard BRUNHES, au début du XX siècle. Ce dernier s'appuyait sur des mesures d'aimantation de roches volcaniques. Des travaux ultérieurs ont établi que le champ géomagnétique subit, en plus des fluctuations quotidiennes et séculaires, de brusques renversements au cours desquels le Nord magnétique change d'hémisphère. L'existence de périodes de stabilité, s'étendant sur plus de cent millions d'années et suivies de nombreux renversements successifs, suggère un comportement chaotique . Ce problème présente un modèle fruste de la dynamo terrestre pouvant rendre compte des changements de polarité du champ géomagnétique terrestre. Indépendamment de cette modélisation, la première partie étudie quelques propriétés du champ géomagnétique.

Le repère terrestre est associé aux coordonnées sphériques ( ) d'axe Oz orienté sud-nord. Le champ magnétique terrestre est modélisé par le champ d'un dipôle permanent de

moment situé au centre O de la Terre, assimilée à une sphère de rayon (Fig. 1). Le noyau terrestre est assimilé à une sphère concentrique, conductrice, fluide et homogène, de rayon . La température du noyau est notée , sa conductivité électrique et sa capacité thermique massique . L'intensité du champ B au pôle Nord terrestre est notée .
Les données ci-dessous sont données avec une précision variable.

Composantes, en coordonnées sphériques, du champ B produit par un dipôle magnétique :

La valeur moyenne d'une fonction périodique de période

On nomme point critique du système différentiel un point de coordonnées satisfaisant, pour tout .

Il est courant, pour une étude locale, de linéariser le système étudié, au voisinage d'un point donné sur une trajectoire. Le système obtenu s'écrit généralement, en posant :

où est une certaine matrice. Lorsque toutes les valeurs propres de ont une partie réelle négative, le point considéré est dit stable. Lorsqu'il existe une valeur propre dont la partie réelle est positive, le point est dit instable. Lorsque toutes les parties réelles des valeurs pro-
pres sont nulles, une étude plus fine est nécessaire pour conclure sur la stabilité locale.

- Retrouver la valeur de , à partir de celle de .
- Admettant que ce moment magnétique soit produit par des courants volumiques de densité , avec , estimer la valeur de . Comparer cette valeur aux densités de courant usuelles dans les circuits ordinaires (TP, électroménager...).
- Vérifier l'homogénéité de la relation . Justifier que, en coordonnées sphériques, la direction dominante du vecteur densité de courant est .
- Calculer , puissance volumique dissipée par effet Joule dans le noyau terrestre.
- Supposons que l'énergie nécessaire à l'entretien du champ magnétique terrestre provienne du noyau. La température du noyau diminuerait alors de pendant la durée . Exprimer sous la forme , où est une constante que l'on explicitera. Calculer pour une durée de un siècle.
- Calculer numériquement l'intensité du champ en un point A du plan équatorial situé à la distance du point .
- Notant la latitude du point d'observation, établir l'équation et tracer la représentation graphique de la ligne de champ passant par A sous la forme .
- Établir l'expression de la norme de sur en fonction de et de . Tracer l'allure de la courbe . Cette représentation rend-elle compte de ?
- Une particule chargée de masse , de vitesse et d'énergie constante se déplace dans le plan équatorial, au voisinage de , dans une région de l'espace suffisamment petite pour que l'on puisse y supposer le champ B uniforme et constant. En adoptant a priori les lois de la mécanique newtonienne, établir la relation entre et . Commenter l'application numérique pour un électron dont l'énergie serait .

Un disque conducteur de rayon , d'axe vertical , de moment d'inertie par rapport à cet axe est soumis à un couple de moment constant , où est le vecteur unitaire de la verticale ascendante. Il peut tourner sans frottements autour de . Une spire circulaire de même axe est reliée d'une part à l'axe, supposé parfaitement conducteur (la spire est donc connectée au centre du disque), d'autre part à un point de sa périphérie. L'ensemble forme un circuit électrique de résistance et d'inductance propre
. Le coefficient d'inductance mutuelle entre la spire et le disque est noté . Le courant dans le circuit et la vitesse de rotation du disque ont des orientations définies par la Figure 2. Le mouvement du disque modélise les mouvements de matière dans le noyau terrestre, le couple modélise l'apport énergétique qui entretient ce mouvement. On admettra que le champ magnétique, dont l'amplitude est proportionnelle au courant , est modélisé par ce courant.

Supposons que le disque soit mis en rotation dans un champ magnétique axial. La force électromotrice induite fait circuler un courant dans la spire, ce qui génère un champ magnétique axial se superposant au champ excitateur. Le dispositif est ainsi une dynamo autoexcitée ; même si le champ initial disparaît, la dynamo continue de fonctionner grâce à .
- Exprimer, en fonction de l'inductance mutuelle et de , le moment des actions de Laplace qui, s'ajoutant au couple , déterminent la rotation du disque ; on justifiera, ou à défaut on admettra, que le champ produit par le courant soit de la forme ; il sera commode ici d'utiliser le système de coordonnées cylindriques. Représenter le circuit électrique équivalent au dispositif et expliciter ses composants.
- En appliquant, d'une part les lois de la dynamique, d'autre part celles de l'électrocinétique, établir le système [a] ci-dessous, de deux équations différentielles non linéaires du premier ordre, couplées :

- Déterminer le point critique de coordonnées positives de [a]. On notera ces dernières, respectivement, et . Quel est le résultat de la substitution ?
- Effectuer et commenter un bilan instantané de puissance. Rappeler quelle peut être, dans le cas de la Terre, l'origine physique du couple mécanique.
- Le système [a] peut-il admettre une solution vérifiant ?
- Supposons à présent que le système [a] admette des solutions périodiques, de période notée . Montrer dans ce cas que

- Les variables réduites et et le paramètre sont définis par

Vérifier que et sont sans dimension ; établir le système [A] satisfait par les nouvelles variables, et , en fonction du temps réduit . Quels en sont les points critiques, de coordonnées notées respectivement et ? Vérifier la relation .
- Établir le système différentiel relatif à et . Notant et , établir la relation suivante entre et , indépendante de :

Dans les figures ci-après, et . La figure de gauche montre [R], est en abscisse, en ordonnée; la figure de droite représente, en traits pointillés, pour et, en traits pleins, pour . Commenter ces résultats.

- Dans le système [A] établi à la question 16, on pose, au voisinage d'un point critique, et à nouveau , avec et . Linéariser le système obtenu et le mettre sous la forme , où est une matrice à expliciter :

- Déterminer la période d'oscillation réduite, , des grandeurs et . Peut-on conclure sur la stabilité de cet état stationnaire?

- On pose, dans le système [A], . Établir une équation différentielle (non linéaire) du deuxième ordre en et en déduire l'intégrale première :

où est une constante d'intégration et une fonction à expliciter, représentée ci-dessus en trait plein (la courbe en pointillés représente un puits parabolique). Pourquoi peut-on nommer «énergie potentielle effective»? Quelles sont alors les significations de et de ?
- En s'appuyant sur une analyse graphique, justifier que le système est périodique. Établir une expression intégrale de la période , en fonction de la constante d'intégration (on ne s'attardera pas sur la convergence de l'intégrale). Retrouver ainsi, pour les petits mouvements, l'expression de obtenue dans la question 19.
- Le modèle précédent est-il susceptible de prédire le renversement du champ magnétique terrestre?

Le montage de la Figure 3 dérive du système étudié dans la partie II. Il comporte deux disques identiques, de moments d'inertie , soumis au même couple constant de moment et deux circuits identiques de résistance et d'auto-inductance ; le couplage entre les deux circuits est réalisé par l'inductance mutuelle . Les grandeurs et sont orientées comme indiqué sur la Figure 3.

- Représenter les circuits électriques équivalents au dispositif et, par généralisation de la méthode utilisée pour la question 11, en déduire deux équations différentielles couplées. En étudiant les actions mécaniques sur les disques, écrire aussi deux autres équations différentielles couplées. Les variables de ces deux systèmes étant et , on admet qu'en introduisant des grandeurs sans dimension (cf. question 16), on obtient le système [T] suivant :

On posera dans la suite et , où, comme le montre la troisième des équations du système [T], est une constante.
- La constante étant donnée, déterminer le point critique de coordonnées positives de . Vérifier que et .

- La linéarisation du système [T], avec et donne, compte-tenu des résultats de la question 24,

Les valeurs propres de sont et . Peut-on conclure sur la stabilité de l'état stationnaire, de coordonnées ( )?
- Établir que, dans le cas particulier où . Que peut-on en déduire, pour l'allure des cycles ou , lorsque (cf. question 17)?

Le recours aux simulations numériques est rendu nécessaire par la nature des conclusions sur la stabilité.
- Les figures ci-dessous montrent le résultat de l'intégration du système [T] pour un certain jeu de paramètres. On observe successivement et ; dans cette dernière figure, et représentent respectivement et . Les courbes et ont la même allure que celle de . Commenter ces résultats. Peut-on en déduire quelques-uns des paramètres du modèle ?

Nous avons défini plus haut le temps réduit , ce qui permet d'introduire un temps caractéristique du système, . Il y a d'autres temps caractéristiques. Par exemple, la première équation du système [a], question 11, permet d'introduire le temps et la seconde équation le temps . On remarque aussi que, et possédant la même dimension, toute grandeur caractéristique peut être multipliée par le facteur sans dimension , où est réel.

On se propose de déterminer d'autres grandeurs caractéristiques du système par analyse dimensionnelle élémentaire. La notation désignera désormais la dimension de la grandeur . Les dimensions utilisées seront notées de la manière suivante :

- Exprimer (inductance), (résistance), moment d'inertie) et (moment d'un couple) en fonction de et .
- Rechercher les temps caractéristiques sous la forme restant indéterminé, on exprimera et en fonction de . Pour quelle valeur de retrouve-t-on le choix de la partie II? Proposer un autre choix.
- Procéder de même pour trouver les divers courants caractéristiques et les diverses pulsations caractéristiques, sous la forme et . Les résultats feront agréablement apparaître le paramètre introduit à la question 16 .