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ÉCOLE DES PONTS PARISTECH, ISAE-SUPAERO, ENSTA PARISTECH, TELECOM PARISTECH, MINES PARISTECH, MINES SAINT-ÉTIENNE, MINES NANCY, IMT Atlantique, ENSAE PARISTECH, CHIMIE PARISTECH.
Concours Centrale-Supélec (Cycle International), Concours Mines-Télécom, Concours Commun TPE/EIVP.
CONCOURS 2019
DEUXIÈME ÉPREUVE DE PHYSIQUE
Durée de l'épreuve : 4 heures
L'usage de la calculatrice et de tout dispositif électronique est interdit.
L'usage de la calculatrice et de tout dispositif électronique est interdit.
Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente
sur la première page de la copie :
sur la première page de la copie :
PHYSIQUE II - PC
L'énoncé de cette épreuve comporte 7 pages de texte.
L'énoncé de cette épreuve comporte 7 pages de texte.
Abstract
Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.
Physique en arctique
Ce sujet aborde différentes questions relatives aux propriétés physiques particulières aux régions polaires. Les notations, valeurs des constantes fondamentales et les autres données numériques nécessaires à la résolution du problème ainsi qu'un formulaire sont regroupés à la fin de l'énoncé.
Les exemples seront tous traités dans le cas des régions polaires nord (également appelées arctiques ou boréales). Les notations géographiques usuelles sont également rappelées en fin d'énoncé. Les applications numériques comporteront au plus 2 chiffres significatifs.
Les trois parties sont indépendantes.
Les exemples seront tous traités dans le cas des régions polaires nord (également appelées arctiques ou boréales). Les notations géographiques usuelles sont également rappelées en fin d'énoncé. Les applications numériques comporteront au plus 2 chiffres significatifs.
Les trois parties sont indépendantes.
I. - Pôles géographiques et magnétiques
Les pôles géographiques sont assez proches des pôles magnétiques; dans tout ce qui suit, on pourra confondre les deux axes reliant les pôles opposés de chaque type. La recherche des pôles magnétiques s'est d'abord appuyée sur la mesure du champ magnétique terrestre (ou champ géomagnétique), et en particulier de sa direction. L'intensité croissante du champ géomagnétique à l'approche des pôles contribue enfin à expliquer un phénomène optique spectaculaire : les aurores polaires.
Une boussole est formée d'un aimant permanent, solide en forme d'aiguille équivalente à un petit dipôle magnétique
Figure 1 - Boussole de navigation
vecteur
- 1 - Pourquoi la boussole à l'équilibre indique-t-elle le nord? Cet équilibre est-il stable?
On note
- 2 - Montrer que la connaissance de
et permet de déterminer une des composantes du champ géomagnétique. Laquelle?
On étudie un modèle de champ géomagnétique créé par un dipôle magnétiquedisposé au centre de la Terre (assimilée à une sphère de rayon ), l'axe ( ) étant l'axe polaire géographique dirigé du pôle sud de cet axe vers son pôle nord (cf. fig. 5). On rappelle d'une part qu'un point de la surface est caractérisé par ses coordonnées géographiques (longitude) et (latitude) et d'autre part qu'à l'équateur le champ magnétique terrestre est horizontal, dirigé vers le pôle nord géographique et y a pour intensité .
- Exprimer, en un point de la surface de la Terre et en coordonnées sphériques, le champ géomagnétique en fonction de (perméabilité du vide), et . - 4 - Préciser le signe de
puis estimer sa valeur numérique. Quelles sont la direction et l'intensité du champ géomagnétique aux pôles magnétiques nord et sud?
En un pointde la surface terrestre, on appelle nord magnétique local la direction du champ géomagnétique , projeté dans le plan horizontal, et déclinaison magnétique l'angle formé par avec le nord magnétique local; la déclinaison magnétique est positive si est dirigé vers le haut (vers le ciel) et négative s'il est dirigé vers le bas (vers le sol).
- Dans l'hémisphère nord, quel est le signe de ? Calculer en fonction de la latitude puis tracer l'allure de la courbe donnant en fonction de pour toutes les valeurs de du pôle sud au pôle nord. Pourquoi lisait-on parfois que les boussoles s'affolent à proximité des pôles ? Peut-on déterminer, au moyen d'une boussole, si on se trouve dans l'hémisphère nord ou dans l'hémisphère sud?
II. - La glace de la banquise
L'existence de couverts de glace de grande épaisseur au-dessus des océans polaires est bien sûr une caractéristique remarquable des régions polaires. On étudie ici deux propriétés de ces couverts de glace :
- quelques propriétés mécaniques d'un traîneau glissant sur sa surface (partie II.A);
- un modèle simple de croissance de l'épaisseur de la glace en hiver (partie II.B).
II.A. - Un traîneau sur la glace
Un traîneau à chiens est un dispositif de masse totale
- 7 - Le trajet se fait soit à l'horizontale, soit sur une faible pente ascendante caractérisée par l'angle
avec l'horizontale. Montrer que, dans ce dernier cas, tout se passe comme dans un mouvement horizontal sous réserve de remplacer par , que l'on exprimera.
L'intensité de la force de traction totale
- 8 - Déterminer la valeur minimale de
permettant le démarrage du traîneau. - 9 - La vitesse du traîneau en régime stationnaire est
, atteinte à près au bout d'un temps . Exprimer d'une part en fonction de et et d'autre part en fonction de et . Calculer leurs valeurs respectives.
Toujours à vitesse constante
- 10 - Déterminer en fonction des données la tension
de la corde et l'angle entre la force de traction et la
Figure 2 - Trajectoire circulaire du traîneau
trajectoire.
II.B. - Croissance hivernale de l'épaisseur de glace
Pour étudier la croissance de la couche de glace en hiver, on modélise l'océan sous la banquise en formation de la manière suivante (cf. fig. 3) : en profondeur, la température de l'eau est maintenue constante à
Figure 3 - L'océan sous la banquise en formation
L'épaisseur de glace
11- Par une étude des échanges thermiques de l'épaisseur
- 12 - Déterminer une expression donnant l'ordre de grandeur de la durée
de la diffusion thermique au sein de la glace sur une hauteur . Quelle durée doit-on attendre afin de pouvoir considérer que, pour des évolutions assez lentes, la température ne dépend pratiquement plus du temps? Préciser ce que l'on entend par assez lentes .
On se place dans ce cas dans toute la suite : dans l'eau comme dans la glace, les répartitions de température seront supposées quasi-statiques.
13-Définir et exprimer les résistances thermiqueset , pour une aire donnée , des couches de glace et d'eau refroidie sous la glace.
Les transferts thermiques à travers la surface supérieure de la banquise sont décrits par la loi de Newton des transferts pariétaux (radiatifs et convecto-conductifs) : la puissance échangée par unité d'aire de cette surface vérifieoù est la température au sommet de la couche de glace; le coefficient de la loi de Newton est supposé connu et constant.
14- Exprimer la résistance thermique
15-Montrer que le régime quasi-permanent de croissance de la couche de glace peut être décrit par le schéma électrique équivalent de la figure 4 et préciser l'expression du << courant >>
15-Montrer que le régime quasi-permanent de croissance de la couche de glace peut être décrit par le schéma électrique équivalent de la figure 4 et préciser l'expression du << courant >>
Figure 4 - Circuit électrique équivalent à la croissance de la couche de glace
- 16 - En électricité, connaissez-vous un dispositif D permettant d'assurer une différence de potentiel nulle sans appel de courant? Si oui, comment faut-il le brancher? En thermodynamique, pour quelle raison la différence de température aux bornes de D est-elle maintenue nulle?
- 17 - Établir l'équation différentielle vérifiée par
. On suppose que pour toutes les valeurs de considérées on a , en déduire la loi d'évolution de l'épaisseur de la couche de glace sous la forme où l'exprimera les grandeurs et en fonction des paramètres du modèle. L'instant correspond au début de la formation de la banquise.
18 - Tracer et commenter l'allure de la courbe donnanten fonction de . On montrera notamment l'existence de deux régimes successifs.
III. - La spirale d'Ekman
Lors de diverses expéditions en direction du pôle nord, on a pu constater que les navires pris dans les glaces du pack arctique dérivent systématiquement à droite de la direction du vent.
On interprète ces résultats par la différence de direction d'écoulement du vent (qui entraîne la surface de l'eau) et de l'eau profonde (qui entraîne les glaces dérivantes du pack) du fait de la rotation propre de la Terre autour de l'axe polaire (on parle ici d'effet Coriolis). L'entraînement des couches de plus en plus profondes de l'océan est dû aux effets de viscosité de l'eau.
Ce changement graduel de direction en fonction de la profondeur possède une forme de spirale. Elle prend le nom de l'océanographe suédois Vagn Walfrid Ekman qui l'expliqua dans sa thèse en 1907.
On interprète ces résultats par la différence de direction d'écoulement du vent (qui entraîne la surface de l'eau) et de l'eau profonde (qui entraîne les glaces dérivantes du pack) du fait de la rotation propre de la Terre autour de l'axe polaire (on parle ici d'effet Coriolis). L'entraînement des couches de plus en plus profondes de l'océan est dû aux effets de viscosité de l'eau.
Ce changement graduel de direction en fonction de la profondeur possède une forme de spirale. Elle prend le nom de l'océanographe suédois Vagn Walfrid Ekman qui l'expliqua dans sa thèse en 1907.
19 - La viscosité de l'eau liquide à basse température (sous les glaces du pack arctique) est-elle, à votre avis, plus ou moins élevée qu'à température ambiante?
L'étude qui suit est réalisée dans un référentiel terrestre (
- 20 - Expliciter les forces de pesanteur et des pseudo-forces d'inertie exercées par unité de masse d'eau en fonction de
(accélération de la pesanteur polaire) et de (durée du jour). Que dire des forces d'inertie d'entraînement? -
- Écrire l'équation locale qui traduit le principe fondamental de la dynamique appliqué à une particule mésoscopique d'eau (Équation de Navier-Stokes). Montrer que la pression ne dépend que de et déterminer son expression.
- Montrer que les fonctions et sont reliées par deux équations différentielles couplées du second ordre, que l'on établira et qui feront apparaître un paramètre commun noté , homogène à une longueur, que l'on exprimera en fonction de et .
23 - On note
- 24 - Ces résultats sont-ils compatibles avec l'observation expérimentale suivante : la vitesse de dérive des navires pris dans la banquise est de l'ordre de
de celle du vent avec une dérive de à à droite de ce dernier?
Données et formulaire utiles pour l'ensemble du sujet
Données numériques et constantes fondamentales
| Champ magnétique terrestre à l'équateur |
|
| Charge élémentaire |
|
| Durée du jour solaire moyen |
|
| Intensité du champ de pesanteur |
|
| Masse volumique de l'eau liquide à
|
|
| Perméabilité magnétique du vide |
|
| Rayon terrestre |
|
| Viscosité dynamique de l'eau liquide à
|
|
| Logarithme népérien du nombre 20 |
|
Données et formules relatives aux dipôles magnétiques
Le champ magnétique créé par un dipôle de moment dipolaire
Les interactions d'un dipôle magnétique rigide de moment dipolaire
Coordonnées sphériques et géographiques
On notera (Oxyz) les axes cartésiens associés à la base orthonormée et directe (
Figure 5 - Coordonnées sphériques et géographiques