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Mines Physique 1 PC 2014

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Mines
Année
2014
Filière
PC
Matière
Physique
Mines PCMines 2014PC PhysiquePhysique 2014
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ÉCOLE DES PONTS PARISTECH SUPAERO (ISAE), ENSTA PARISTECH, TELECOM PARISTECH, MINES PARISTECH, MINES DE SAINT-ÉTIENNE, MINES DE NANCY, TÉLÉCOM BRETAGNE, ENSAE PARISTECH (FILIÈRE MP) ÉCOLE POLYTECHNIQUE (FILIÈRE TSI) CONCOURS D'ADMISSION 2014
PREMIÈRE ÉPREUVE DE PHYSIQUE

Filière PC

(Durée de l'épreuve: 3 heures)L'usage de la calculatrice est autorisé

Sujet mis à disposition des concours : Cycle international, ENSTIM, TELECOM INT, TPE-EIVP
Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie :
PHYSIQUE I - PC.
L'énoncé de cette épreuve comporte 7 pages.
  • Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il est invité à le signaler sur sa copie et à poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il aura été amené à prendre.
  • Il ne faudra pas hésiter à formuler les commentaires (incluant des considérations numériques) qui vous sembleront pertinents, même lorsque l'énoncé ne le demande pas explicitement. Le barème tiendra compte de ces initiatives ainsi que des qualités de rédaction de la copie.

INTERACTIONS MICROSCOPIQUES

Ce problème se propose de modéliser à l'échelle microscopique les interactions intermoléculaires dans un fluide, puis d'en examiner quelques conséquences à l'échelle macroscopique, concernant en particulier les surfaces de contact entre deux fluides non miscibles. Les vecteurs sont surmontés d'un chapeau s'ils sont unitaires ( ) ou d'une flèche dans le cas général ( ). Les constantes utiles pour les applications numériques sont regroupées à la fin du sujet. Les applications numériques seront proposées avec 3 chiffres significatifs.

I. - Étude microscopique

I.A. - La vapeur d'eau

L'eau pure, maintenue à une température et sous une pression bar, est à l'équilibre liquide-vapeur : dans ces conditions, l'eau peut exister sous forme de liquide ou sous forme de vapeur.
- Sous les conditions ( ), on peut en première approximation assimiler la vapeur d'eau à un gaz parfait. Déterminer, dans cette vapeur et sous ces conditions, la densité particulaire . En déduire dans ces mêmes conditions, une estimation de la distance moyenne entre deux molécules d'eau voisines.
  • 2 - Quelles sont les hypothèses considérées, à propos des interactions intermoléculaires, pour établir l'équation d'état du gaz parfait moléculaire? Comment varie le volume d'un gaz parfait moléculaire lorsqu'on le refroidit à pression constante?

I.B. - Un modèle atomique simple (Thomson, 1904)

Figure 1 Modèle de Thomson de l'atome
Ce modèle est postérieur à la découverte de l'électron, en 1897 par Thomson, mais antérieur à la découverte du noyau par Rutherford en 1911. Il postule qu'un atome d'hydrogène est constitué d'un électron ponctuel noté , de masse et de charge évoluant dans nuage sphérique, de centre , de rayon , et dont la charge totale est répartie dans cette sphère avec une densité volumique de charge uniforme. On suppose que l'électron peut se mouvoir sans frottement à l'intérieur du nuage. La masse de ce nuage étant très supérieure à celle de l'électron, on pourra supposer fixe dans le référentiel galiléen d'observation; est mobile et repéré par son vecteur position .
  • - Déterminer le champ électrostatique créé par le nuage positif au niveau de l'électron, en fonction de (permittivité du vide) et . On suppose que l'électron reste à l'intérieur du nuage.
  • 4 - Montrer que le mouvement de l'électron dans ce champ est associé à une fréquence que l'on exprimera en fonction de et . Déterminer la valeur numérique de la longueur d'onde de la radiation électromagnétique ayant cette fréquence . Dans quel domaine ce rayonnement est-il prévu par le modèle?

I.C. - Notion de polarisabilité

On applique un champ extérieur uniforme au système de la section I.B constitué par le nuage et l'électron.
  • 5 - Déterminer la position d'équilibre de l'électron sous les effets des champs et , en déduire le moment dipolaire électrique de l'atome qu'induit l'application de . De manière générale, la polarisabilité d'un atome est définie par la relation . Relier au volume du nuage.
Le coefficient numérique trouvé dans la relation entre et de la question 5 (imposé par le modèle de Thomson) n'est pas exactement conforme à la réalité. Cependant, à ce coefficient numérique près, la relation se vérifie pour les atomes polyélectroniques et les molécules.
  • 6 - Comparer la polarisabilité du lithium ( ) et celle du néon ( ). Le fluor et l'iode sont deux halogènes situés sur la même colonne de la table périodique, sur la seconde ligne pour le fluor et la cinquième pour l'iode. Comparer la polarisabilité d'une molécule de difluor et celle d'une molécule de diiode.

FIN DE LA PARTIE I

Figure 2 - Dipôle

II. - Interactions intermoléculaires

Dans le cadre de l'approximation dipolaire, on rappelle qu'un dipôle électrostatique placé en crée, en un point tel que (voir figure 2), le champ électrostatique avec
On rappelle également que l'énergie potentielle d'un dipôle rigide placé dans un champ est telle que .

II.A. - Interaction entre deux molécules polaires

Deux molécules fixes et de moments dipolaires respectifs et sont respectivement placées aux points et . tels que (voir figure 3 ). Lorsque deux molécules sont en interaction, la situation étant symétrique, on appellera énergie potentielle d'interaction du couple l'énergie potentielle d'une molécule dans le champ électrique de l'autre.
A priori, et peuvent tourner dans tous les sens à cause de l'agitation thermique, l'énergie potentielle d'interaction du couple n'est donc pas constante. Les modules respectifs de et sont supposées constantes.
- Comment doit être orienté pour que le module du champ électrique créé par la
Figure 3 - Deux dipoles en interaction
molécule en soit maximal ? En déduire la valeur minimale et maximale de et l'écart . Représenter sur un schéma les positions relatives des deux dipôles dans ces deux états extrêmes.
  • - Pour deux molécules d'eau et . Déterminer les valeurs numériques de et ; Comparer les valeurs de et pour la température . On rappelle que est une évaluation de l'énergie cinétique moyenne d'agitation thermique. Les deux configurations d'énergie potentielle extrêmes de ce système sont-elles accessibles?
Pour évaluer la valeur moyenne de l'énergie potentielle d'interaction, on suppose que les seules valeurs de et possibles sont celles correspondant à l'un ou l'autre des deux états d'énergie potentielle extrêmes et . Dans la statistique de Boltzmann, chacun de ces états est associé à une probabilité où est une constante de normalisation, choisie pour que la somme des probabilités soit égale à 1 .
  • 9 - Déterminer la valeur de la constante en fonction de et . En déduire l'énergie potentielle d'interaction moyenne entre ces molécules polaires, que l'on notera . On pourra simplifier l'expression obtenue en utilisant la relation d'ordre trouvée à la question 8 entre et . Effectuer alors l'application numérique pour , avec les valeurs précédentes, en prenant .

II.B. - Interaction entre une molécule polaire et une molécule polarisable

On étudie maintenant la situation dans laquelle la molécule est la même que celle étudiée dans la partie précédente, toujours située en , par contre la molécule située en est à présent non polaire, mais polarisable avec une polarisabilité . On pose toujours et on suppose que est dirigé selon .
Conformément aux résultats de la partie I.C, la molécule acquiert un moment dipolaire induit . L'énergie potentielle d'interaction moyenne du couple est alors dans ce .
  • 10 - Déterminer l'expression de en fonction de et . Calculer sa valeur numérique avec toujours et .

II.C. - Interactions entre molécules non polaires

Si une molécule est non polaire, son moment dipolaire est nul en moyenne, mais pas en valeur instantanée. Une interaction entre deux molécules non polaires est donc possible par le mécanisme décrit dans la partie II.B. Un calcul un peu élaboré conduit à une énergie potentielle moyenne d'interaction entre deux molécules semblables, qui a pour expression
Ici, est la constante de Planck, la polarisabilité des molécules, la distance qui les sépare et la fréquence de résonance électronique de la molécule dont on a pu se faire une représentation à la question 4 .
  • 11 - Quelle théorie de la physique permet-elle d'obtenir l'expression de ? En conservant les valeurs précédentes pour et puis en prenant , calculer la valeur numérique de .

II.D. - Synthèse

En réalité, les trois effets évoqués dans les parties précédentes s'ajoutent : une molécule déjà polaire est aussi polarisable... Les valeurs numériques utilisées se rapportent à la vapeur d'eau à .
  • 12 - Comparer les valeurs de et . Justifier que, lorsqu'elles ne sont pas en contact, la force d'interaction entre deux molécules peut s'écrire
où et sont des constantes que l'on explicitera en fonction des données du problème et un vecteur unitaire que l'on précisera. Quelle est la valeur de pour des molécules non polaires? Quel nom donne-t-on généralement à cette force?

II.E. - Conséquences pour un gaz réel

On considère un gaz réel formé de molécules supposées ici non polaires, à la température et réparties uniformément dans un volume .
  • 13 - On considère une molécule de ce gaz supposée sphérique et de rayon . Quel est le nombre de molécules dont la distance à est comprise entre et ? En considérant que peut varier de à l'infini et en reprenant les résultats de la question 12, déterminer l'énergie potentielle d'interaction totale moyenne entre la molécule et toutes les autres.
  • 14 - En déduire que, selon ce modèle, l'énergie interne du gaz peut s'écrire
où représente l'énergie cinétique moyenne d'une molécule. En déduire que dans ce modèle, l'énergie interne de moles d'un gaz réel monoatomique s'écrit . On précisera les expressions de et , proposer un nom pour la grandeur . Cette relation reste-t-elle valable pour un gaz réel polyatomique?

FIN DE LA PARTIE II

III. - Étude des liquides

III.A. - Le liquide pur

On a rassemblé ci-dessous les hypothèses permettant de modéliser simplement un liquide formé de molécules de type . Dans toute cette partie on se place à une température nettement inférieure à la température critique de .
  • L'énergie cinétique moyenne des molécules d'un liquide, notée est comparable à celle des molécules d'un gaz de même température.
  • Les molécules sont supposées sphériques, de rayon .
  • Il existe une interaction entre les molécules du liquide, que l'on suppose limitée aux molécules en contact. On note l'énergie potentielle d'interaction pour un couple de molécules en contact, avec . On suppose que cette grandeur est indépendante de la température, de la pression.
  • On suppose qu'au sein du liquide, une molécule est toujours en contact avec ses 6 molécules voisines.
  • Bien que le liquide soit désordonné, on pourra raisonner comme si les molécules étaient (en moyenne) rangées dans un réseau cubique simple d'arête . Les mailles peuvent néanmoins glisser les unes sur les autres, pour assurer la fluidité du liquide.
  • Le liquide est supposé incompressible et indilatable.
Figure 4 - Modèle du liquide pur
  • 15 - La compacité observée pour des liquides usuels est de l'ordre de 0,6 . Quelle est la compacité du liquide dans le modèle proposé ? Ce modèle est-il pertinent ? On considère un volume de ce liquide, formé de molécules. Quelle est la relation entre et ? En déduire la valeur de pour l'eau liquide dans ce modèle.
16-L'énergie interne du liquide peut toujours s'écrire sous la forme , la quantité désignant l'énergie potentielle d'interaction totale au sein du liquide. Combien existe-t-il de couples de molécules en contact dans ce liquide si l'on néglige les effets de bord? En déduire, dans le modèle proposé, l'expression de en fonction de et .
  • 17 - À la température , et à la pression bar, on donne la chaleur latente molaire (ou enthalpie molaire) de vaporisation de l'eau . On assimile la vapeur d'eau à un gaz parfait, déterminer la variation d'énergie interne associée à la vaporisation d'une mole d'eau à cette température, on fera l'application numérique. On rappelle que sous les hypothèses du modèle, la valeur de est la même dans l'eau liquide et dans l'eau vapeur; en déduire une estimation de et comparer sa valeur à celle de , qui est une estimation de . Commenter le résultat.

III.B. - Liquides miscibles, non miscibles

On observe que certains liquides sont miscibles en toutes proportions (eau/éthanol), d'autres partiellement miscibles (eau/propanone), d'autres totalement non miscibles (eau/benzène). Nous allons tenter dans cette partie de déterminer un critère de miscibilité.
On envisage ici la mise en solution de molécules d'un liquide formé de molécules , dans molécules d'un liquide formé de molécules . On se place sous les hypothèses idéalisées suivantes :
  • dans le mélange, l'espèce est majoritaire, c'est-à-dire ;
  • le mélange est réalisé de façon isotherme et isobare, et on suppose les volumes additifs : le volume de la solution obtenue est égal à la somme des volumes initiaux de et de ;
  • le mélange ne change pas l'énergie cinétique moyenne des molécules, toujours égale à pour les molécules ou ;
  • les molécules et possèdent une taille caractéristique comparable notée ;
  • dans le mélange, les molécules sont tellement minoritaires qu'elles sont toujours entourées de 6 molécules de type .
    Les énergies potentielles d'interaction entre couples de molécules sont notées pour , pour et pour les couples . Toutes ces énergies sont négatives.
  • 18 - Dans la cadre du modèle proposé, déterminer la variation d'énergie interne due au mélange de et en fonction de et . Justifier le fait que, dans le modèle proposé, la variation d'énergie interne corresponde à la variation d'enthalpie .
On montre que si la solution de dans est diluée, la variation d'entropie accompagnant le mélange est donnée par la relation , où représente la fraction molaire de dans le mélange et la constante de Boltzmann.
  • 19 - Que peut-on dire de la variation d'enthalpie libre d'un système qui évolue spontanément de façon isotherme et isobare? Déterminer la variation d'enthalpie libre au cours du mélange. Deux liquides sont dit miscibles s'ils se mélangent spontanément. En déduire une condition de miscibilité de dans reliant les paramètres et .

III.C. - Énergie de surface

On se place désormais dans le cas où les deux fluides sont non miscibles. On étudie le cas dans lequel la surface de contact entre ces deux liquides est plane. Dans le cadre du modèle considéré, si une molécule (resp. ) se trouve dans l'interface, elle est en contact avec une molécule (resp. ) et 5 molécules (resp. ); l'interface est donc la couche d'épaisseur bimoléculaire formée par les couples ( ) en contact.
  • - Combien de couples de molécules forment l'interface d'aire ?
On envisage une transformation du système formé par l'ensemble ( ) à et maintenus constants au cours de laquelle l'aire de la surface de contact varie de .
- En supposant que l'énergie cinétique moyenne d'une molécule ne dépend pas du fait qu'elle se trouve ou non dans l'interface, déterminer la variation d'énergie interne de ce système lors de cette transformation. On l'écrira sous la forme , où l'on exprimera l'énergie surfacique de l'interface en fonction de et .

III.D. - Tension superficielle

Considérons le système fermé formé des molécules de l'interface et des molécules de et de qui sont susceptibles de passer dans l'interface si la surface varie de à . Les paramètres d'état de sont et . On rappelle que le volume de ne varie pas, et que la pression n'influe pas. On note l'énergie interne de son entropie et son énergie libre. On suppose que cette transformation est réversible, et que, pour opérer cette transformation, il faut fournir à un travail . La grandeur est appelée tension superficielle de l'interface . On constate expérimentalement que cette grandeur est toujours positive et qu'elle ne dépend que de et pas de .
- Montrer que .
  • - On considère une goutte de , de volume supposé invariable , en suspension dans le fluide . La température est fixée. Montrer que la forme de la goutte, initialement quelconque, va évoluer vers une forme d'équilibre sphérique.

FIN DE LA PARTIE III

Constantes fondamentales utiles
  • Nombre d'Avogadro :
  • Masse molaire de l'eau :
  • Masse volumique de l'eau liquide :
  • Constante des gaz parfaits :
  • Masse de l'électron :
  • Charge de l'électron :
  • Constante de Boltzmann :
  • Constante de Planck :
  • Permittivité électrique du vide :
  • Célérité de la lumière dans le vide :

FIN DE L'ÉPREUVE

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