Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

Fonctions spéciales

Ce sujet comporte trois parties indépendantes.
Bon nombre de problèmes rencontrés en physique peuvent être résolus à l'aide de «fonctions spéciales ». Ces fonctions définies mathématiquement sont implémentées dans de nombreuses bibliothèques informatiques (comme scipy) et peuvent être utilisées aussi simplement qu'une fonction sinus ou racine carrée qui sont elles aussi d'une certaine manière des fonctions spéciales et tout aussi analytiques . . .
On rencontre bien souvent des résolutions numériques de problèmes physiques alors que l'utilisation de ces fonctions spéciales permet une résolution complète et analytique. Ce problème se propose d'illustrer l'intérêt de ces «fonctions spéciales».

I La fonction de W de Lambert

I.A Tir d'un projectile sans frottements

Un projectile assimilé à un point matériel de masse

est lancé à partir du sol en

avec une vitesse initiale

et faisant un angle

avec l'horizontale dans le référentiel terrestre supposé galiléen.

1. Rappeler la définition d'un référentiel galiléen. Dans quelle mesure le référentiel terrestre peut-il être supposé galiléen?
1. Établir les équations horaires du mouvement.

Montrer que le mouvement est plan.

1. Établir l'équation de la trajectoire. Quelle est la forme de la trajectoire? Est-elle symétrique?

Figure 1 - Tir d'un projectile

1. Déterminer les coordonnées du sommet de la trajectoire. Définir la portée du tir et établir son expression. Quel est l'angle assurant un tir de portée maximale?

I.B Tir d'un projectile avec frottements

On considère maintenant que le projectile est soumis à une force de frottements proportionnelle à la vitesse:

avec

1. Quelle est la dimension du coefficient ? Définir à partir de un temps caractéristique . Le mouvement reste-t-il plan?
  . Établir, en fonction et , les nouvelles équations horaires du mouvement.
1. Dans la situation où , simplifier les équations horaires de la trajectoire et donner l'allure du mouvement.
1. Dans la situation où , simplifier les équations horaires du mouvement en faisant apparaitre une vitesse limite .
  Où retombe le projectile?
1. Déduire des résultats précédents, l'allure globale de la trajectoire dans une situation où le temps de vol est grand devant , en séparant la trajectoire en trois phases.
1. Tracer l'allure de la trajectoire pour un temps de vol de l'ordre de .

I.C La portée maximale d'un tir avec frottement

1. Dresser le tableau de variation de la fonction et déterminer la valeur de son minimum global.
  La fonction W de Lambert est définie comme étant la fonction réciproque de sur . Reproduire le graphe de représenté sur la partie gauche de la figure 2 et expliquer comment en déduire l'allure de W représenté sur la partie droite.

Figure 2 - Représentations graphiques de

(à gauche) et

(à droite)

1. On peut montrer que : . Quelle est la valeur de ?

On souhaite appliquer le schéma d'Euler explicite avec un pas

pour résoudre cette équation différentielle. Donner le code python permettant d'obtenir une représentation graphique de

sur l'intervalle

.
La fonction

est implémentée dans scipy. On peut l'appeler avec : from scipy.special import lambertw.
On montre que si

, la solution de l'équation

pour l'inconnue

est donnée par l'expression

. En déduire à quel instant

le projectile touche le sol. On posera

. On rappelle que par définition

où Id est la fonction identité :

.
En déduire que la portée est donnée par

.
En posant

, on montre que l'angle initial donnant la portée maximale est :

1. À l'aide de la figure 2, déterminer la valeur numérique de l'angle assurant la portée maximale pour et .

II L'intégrale elliptique de première espèce

Dans toute cette partie on néglige les frottements de l'air.
On étudie un pendule simple constitué d'une masse ponctuelle

et d'une tige rigide de longueur

et de masse négligeable, astreint à évoluer dans un plan vertical (

).
On repère sa position par l'angle

. À

on lâche le pendule sans vitesse initiale avec

1. Établir l'équation différentielle du mouvement vérifiée par la fonction .

Figure 3 - Pendule simple

1. On fait l'approximation des petits angles tels que . Établir dans ces conditions la période des oscillations.
1. Déterminer l'expression générale de sans faire l'approximation des petits angles. En déduire que la période des oscillations du pendule est donnée par :

En effectuant le changement de variable

, on montre que :

On souhaite calculer l'intégrale

par la méthode des rectangles médians pour un angle

1. Après avoir tracé le graphe de la fonction pour , illustrer le principe de la méthode des rectangles médians pour calculer le réel en utilisant 9 rectangles.
  Si on double le nombre de rectangles utilisés qu'en est-il de la différence entre la valeur exacte de et la valeur approchée numériquement par la méthode des rectangles médians?
1. Recopier et compléter le code suivant permettant de calculer par la méthode des rectangles médians.

import math as m
def f(x,phi):
    return.............
S = 0.
N = 100
a = 0.
b = m.pi/2.
pas = ...........
theta_0 = m.pi/3.
x = m.sin(theta_0)**2
for i in range(N):
    phi = ...........
    S = ...........
print(pas * S)

La fonction

est nommée intégrale elliptique complète de première espèce. La commande from scipy.special import ellipk permet de l'appeler directement dans scipy.

. En utilisant la figure 4 , pour un pendule tel que

, évaluer

lorsque

. Quel est le décalage temporel induit par la prise en compte de l'approximation des petits angles si l'on envisage de mesurer une heure?

Au XVII

siècle les puissances maritimes désiraient posséder des instruments précis pour la mesure du temps afin de faciliter la navigation (notamment pour déterminer la longitude). Les rois de France et d'Angleterre avaient offert des prix importants à qui serait capable de réaliser un chronomètre précis, fiable et utilisable en mer.

Figure

. Dans quelle situation courante rencontre-t-on la cycloïde?

III La fonction d'erreur de GAUSS :

III.A Introduction au problème de Stefan

Un certain nombre de problèmes géologiques importants peuvent être modélisés par le chauffage ou le refroidissement instantané d'un demi-espace semi-infini. Au milieu du XIX

siècle Lord Kelvin a ainsi utilisé cette idée pour estimer l'âge de la Terre. Il supposa qu'à la surface le flux d'énergie thermique résultait du refroidissement d'un flux initialement chaud de la Terre et a conclu que l'âge de la Terre était environ 65 millions d'années. On retrouve ces phénomènes en étudiant le refroidissement de la lithosphère océanique ou l'évolution d'une coulée de magma.

1. Comment explique-t-on de nos jours le résultat erroné obtenu par Lord Kelvin?

On étudie un milieu matériel semi-infini défini par

dont la surface subit un changement instantané de température. Initialement à

, le demi-espace est à la température uniforme

; pour

, la surface

est maintenue à une température constante

. Si

, le milieu matériel se refroidit et sa température diminue. La situation est représentée à la figure 5 pour le cas

Figure 5 - Évolution de la température

Le flux thermique élémentaire, défini comme la quantité d'énergie traversant une surface élémentaire

pendant

, est noté

1. Rappeler la définition du vecteur , densité de flux thermique. Quelle est sa dimension?

Rappeler la loi de Fourier, ainsi que ses conditions d'application.
En déduire la dimension de la conductivité thermique

.
On étudie une tranche mésoscopique de sol de masse

de masse volumique

et de capacité thermique massique

comprise entre

de surface

1. Quelle est l'énergie thermique reçue par cette tranche entre et ?

Pourquoi étudie-t-on une tranche «mésoscopique»?
Établir l'expression de sa variation d'énergie interne

en fonction de

puis en fonction de

.
En déduire l'équation de la chaleur à une dimension

dans laquelle on précisera l'expression et la dimension du coefficient

de diffusion thermique.
En déduire l'expression d'une longueur caractéristique

en fonction de

et du temps

.
On introduit la température adimensionnée

1. Quelle est l'équation vérifiée par ?

Déterminer les valeurs de

.
On introduit une variable de similarité sans dimension

et on suppose que

n'est une fonction que de cette seule variable

. Montrer que

. En utilisant la fonction

, montrer que

.
On donne

. En déduire une expression de

faisant apparaître une intégrale.

La fonction

est appelée fonction d'erreur de GAUSS, elle est implémentée dans scipy.
Elle est souvent notée

. On peut l'appeler directement en utilisant la commande : from scipy.special import erf.

III.B Formation d'une croûte de lave solide.

Dans cette dernière partie on s'intéresse à une coulée de lave en fusion et à la formation d'une croûte solide à sa surface. On étudie alors l'augmentation de l'épaisseur de cette croûte en fonction du temps.

À la surface extérieure, en

, la lave est en contact avec l'air à la température constante

. La lave en fusion à la température

est donc soudainement portée à la température

. Dans ces conditions, la couche superficielle de la lave se solidifie, et on note

l'épaisseur de la couche de lave solide.

Nous devons donc résoudre l'équation de la chaleur dans l'espace

avec comme conditions aux limites

, et

, et comme condition initiale

Figure 6 - Formation d'une croûte de lave solide

La position

de l'interface de transition de phase est une fonction a priori inconnue du temps. Comme dans la situation précédente il n'y a pas d'échelle de longueur définie dans ce problème. Pour cette raison, on travaillera également avec la variable de similarité sans dimension

.
On utilisera également la température adimensionnée

La profondeur de l'interface de solidification

doit enfin s'adapter à la longueur caractéristique de la diffusion thermique. Nous supposerons que celle-ci varie proportionnellement à la racine carrée du temps, de telle sorte que :

. Cette constante est inconnue et reste à déterminer.

. En reprenant l'équation de la question 27, montrer que

Afin d'obtenir l'expression puis la valeur de la constante

, nous allons étudier la solidification d'une tranche de lave d'épaisseur d

entre les instants

1. Quelle est l'énergie libérée par la solidification à la température d'une tranche de lave de surface en fonction de la masse volumique de la lave en fusion et l'enthalpie de fusion massique : .
1. Toute l'énergie libérée par la solidification doit être évacuée par diffusion dans la lave solide car la lave en fusion reste à la température . Montrer que :

Figure 7 - Graphe de

1. En déduire que

1. Quel algorithme peut on utiliser pour obtenir la constante numériquement?
  Expliquer en quelques mots son fonctionnement.

On donne les valeurs numériques suivantes :

1. À l'aide de la figure 7, estimer la valeur numérique de .

En déduire l'épaisseur de la croûte de lave six mois après l'éruption.
Comparer votre résultat à ceux de la figure 8 tirés d'une expérience

Figure 8 - Épaisseurs des croûtes de lave solides à la surface des lacs de lave dans les trois cratères à fosse Kilauea lki (1959), Alae (1963) et Makaopuhi (1965) sur le volcan Kilauea, Hawaii (Wright et al., 1976), et résultat théorique.

FIN DE L'ÉPREUVE

1. Wright, T. L., Peck, D. L., and Shaw, H. R. (1976). Kilauea lava lakes : Natural laboratories for study of cooling, crystallization, and differentiation of basaltic magma. In The Geophysics of the Pacific Ocean Basin and its Margin, eds. G. H. Sutton, M. H. Manghnani, R. Moberly, and E. U. McAfee, vol. 19 of Geophysical Monograph Series, Washington, D.C. : American Geophysical Union, pp. 375-90

Mines Physique 1 MPI 2023

ÉCOLE DES PONTS PARISTECH, ISAE-SUPAERO, ENSTA PARIS, TÉLÉCOM PARIS, MINES PARIS, MINES SAINT-ÉTIENNE, MINES NANCY, IMT ATLANTIQUE, ENSAE PARIS, CHIMIE PARISTECH - PSL. Concours Mines-Télécom, Concours Centrale-Supélec (Cycle International).