Sujet mis à disposition des concours : Cycle international, ENSTIM, TELECOM INT, TPE-EIVP
Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie :
PHYSIQUE I —MP.
L'énoncé de cette épreuve comporte 6 pages.

Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il est invité à le signaler sur sa copie et à poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il aura été amené à prendre.
Il ne faudra pas hésiter à formuler les commentaires (incluant des considérations numériques) qui vous sembleront pertinents, même lorsque l'énoncé ne le demande pas explicitement. Le barème tiendra compte de ces initiatives ainsi que des qualités de rédaction de la copie.

DE LA PHYSIQUE AUTOUR D'UN TORE

Ce sujet comporte quatre parties totalement indépendantes qui explorent les propriétés physiques d'objets de forme torique. Un tore est le volume généré par la révolution autour d'un axe d'une figure géométrique donnée (dans le problème, ce sera un rectangle ou un cercle, voir figure 1) appelée section et inscrite dans un plan passant par l'axe. Les vecteurs sont surmontés d'un chapeau s'ils sont unitaires (

) ou d'une flèche dans le cas général (

Figure 1 - Deux types de tores

I. - Modélisation d'un hulahoop

Le hulahoop est un cerceau en plastique que l'on fait principalement tourner autour de la taille par un déhanchement rythmé très en vogue dans les années 1960. Pour notre modélisation, nous l'assimilerons à un tore de section rectangulaire en rotation autour d'un arbre cylindrique fixe et vertical, d'axe (

) et de rayon

, dans le référentiel terrestre supposé galiléen

. Le tore est de masse volumique

homogène, ses dimensions sont les suivantes : le rayon du cercle intérieur est

, celui du cercle extérieur

et son épaisseur selon

vaut

. On note

son centre d'inertie et

son axe de symétrie, dont la direction reste parallèle à (

) : on peut donc identifier

. On donne l'expression du moment d'inertie d'un cylindre de rayon

et de masse

par rapport à un axe de révolution confondu avec l'axe du cylindre :

Figure 2 - Rotation du hulahoop

1 - Justifier que le moment d'inertie autour d'un axe donné de l'ensemble constitué par la superposition de deux distribution de masses et disjointes est la somme des moments d'inertie de et par rapport à cet axe.
- Déterminer le moment d'inertie du tore par rapport à l'axe ( ) en fonction de , et .

Le contact entre la paroi intérieure du tore et le cylindre vertical se répartit sur un segment vertical dont on note

le milieu. Il y a roulement sans glissement entre les deux solides. On note

le coefficient de frottement statique au niveau de ce contact. On note

le vecteur vitesse angulaire de rotation du tore autour de son axe

. La position de

est repérée par l'angle

3 - Établir la relation entre et associée à l'hypothèse de roulement sans glissement. En déduire l'expression de l'énergie cinétique du tore dans le référentiel en fonction de et .
4 - On suppose que est constante. Déterminer les composantes des forces subies par le tore au contact avec le cylindre vertical. En déduire à quelle condition sur l'hypothèse de roulement sans glissement est justifiée. Décrire qualitativement ce qui se passe lorsque cette condition n'est plus vérifiée.

On suppose maintenant que l'hypothèse de roulement sans glissement est vérifiée mais qu'on observe une adhérence du tore sur le cylindre qu'on modélise par la création d'une force de liaison attractive

entre le cylindre et le tore localisée en un point

représenté sur la partie droite de la figure 2 et voisin de

tel que

. On donne la vitesse angulaire initiale

du tore.

5 - En utilisant par exemple le théorème de la puissance cinétique, établir la loi d'évolution

et conclure quant à la pratique du hulahoop.

FIN DE LA PARTIE I

II. - Étude d'un conducteur ohmique torique

Figure 3 - Portion d'un conducteur torique

Un conducteur ohmique est caractérisé par une conductivité électrique

de l'ordre de

. Il forme un tore tronqué de section rectangulaire de rayon intérieur

, de rayon extérieur

, d'épaisseur

.
On cherche à déterminer la résistance orthoradiale

d'une portion de ce conducteur comprise entre les angles

où on applique un potentiel uniforme

où on applique un potentiel

6 - On rappelle la valeur numérique de la constante dans les unités du système international. Rappeler le nom et l'unité pratique de cette constante.
7 - Établir, dans un conducteur ohmique, l'équation différentielle vérifiée par la densité volumique de charge . En déduire que tant que la durée caractéristique de variation des grandeurs électromagnétiques est très supérieure à une durée dont on donnera l'expression en fonction de et ainsi que la valeur numérique.
8 - Montrer qu'un terme peut être négligé dans l'équation de Maxwell-Ampère si .
9 - Établir l'équation vérifiée en régime permanent et dans le conducteur ohmique par le potentiel électrique .

10- On suppose que

ne dépend que de l'angle

en coordonnées cylindriques et on donne, dans ce système de coordonnées, les expressions du gradient du potentiel gradV

et de son laplacien

. Déterminer les expressions de

, du champ

et de la densité de courant

11 - Déterminer l'expression de l'intensité totale traversant une section rectangulaire droite quelconque de ce tore. En déduire sa résistance orthoradiale en fonction de et .
12 - Rappeler l'expression de la résistance d'un conducteur filiforme de section et de longueur . Vérifier qu'elle est cohérente avec l'expression du conducteur torique quand est très proche de .

FIN DE LA PARTIE II

III. - Étude d'une pince ampèremétrique

Figure 4 - Partie active de la pince

Une pince ampèremétrique est un appareil dont l'extrémité possède la forme d'un tore. En disposant ce tore autour d'un conducteur parcouru par un certain courant le dispositif équipant la pince permet d'en mesurer l'intensité.
Son principal intérêt est l'absence de contact physique avec le conducteur et le fait qu'il ne soit pas nécessaire d'ouvrir le circuit pour mesurer le courant qui le traverse contrairement à l'implantation d'un ampèremètre classique.
Le dispositif de mesure de la pince ampèremétrique est formé d'un bobinage torique comportant

spires enroulées sur un tore de section rectangulaire de rayon intérieur

, de rayon extérieur

, d'épaisseur

, d'axe (

). Le fil conducteur utilisé pour le bobinage possède une résistance linéique

.
Un point

intérieur au tore est repéré par ses coordonnées cylindriques :

avec

.
Un fil rectiligne infini de même axe (

) est parcouru par un courant d'intensité

. On note

l'intensité du courant circulant dans la bobine torique. On se place dans l'approximation des états quasi-stationnaires.

13 - Rappeler ce qu'on appelle approximation des états quasi-stationnaires. Montrer que cette approximation permet de simplifier l'équation de Maxwell-Ampère. Énoncer dans ce cas le théorème d'Ampère.
14 - Montrer qu'au point intérieur au tore, le champ magnétique peut se mettre sous la forme où l'on précisera l'expression de en fonction de et .

15 - Calculer le flux

à travers le bobinage et en déduire les expressions des coefficients d'autoinductance

du bobinage et de mutuelle inductance

entre le fil et le bobinage.

16-Déterminer l'expression de la résistance totale

du bobinage en fonction de

On se place en régime sinusoïdal forcé avec

associée à l'intensité complexe

17 - Le bobinage formant un circuit fermé, déterminer l'expression de la fonction de transfert en fonction de et .

18-Dans quel régime de pulsation ce dispositif peut-il former une pince ampèremétrique?

IV. - Étude thermique d'un objet torique

Figure 5 - Vue éclatée du système. L'axe (

) est celui du tore

Un tore de section carrée

et de rayon intérieur

(donc de rayon extérieur

) est fabriqué dans un matériau de masse volumique

, de capacité calorifique massique

et de conductivité thermique

.
Le profil des températures possède la symétrie cylindrique:

ne dépend que du rayon

et du temps

soit

. La face intérieure (

) et la face extérieure (

) sont placées dans le vide.

Sur les faces parallèles (

), on pose deux disques parfaitement isolants thermiquement et de surface parfaitement réfléchissantes.

19 - En effectuant un bilan thermique sur la portion torique définie par l'intervalle , montrer que le champ des températures vérifie l'équation

où l'on exprimera

en fonction des grandeurs caractéristiques du matériau et l'on précisera son unité.

20 - On cherche, pour cette équation, une solution stationnaire à variables séparées sous la forme

. Établir les deux équations différentielles vérifiées respectivement par

en faisant apparaître une constante

commune à ces deux équations.

21 - Déterminer l'expression de sans chercher à caractériser la ou les constantes d'intégration. Quel est le signe de ?
22 - Pour la fonction , on cherche une solution développable en série entière sous la forme . Après avoir rapidement justifié cette recherche, déterminer les expressions des et des pour tout entier positif ou nul.
23 - En examinant tous les transferts thermiques possibles sur la face interne, justifier le fait que .

Figure 6 - La fonction

La fonction

qui admet le développement en série déterminé à la question 22 et qui vérifie la condition aux limites imposée par la question 23 s'exprime en utilisant les fonctions de Bessel de première

et de deuxième

espèces. Elle s'écrit

où

est une constante d'intégration. La courbe représentative de cette fonction sur le domaine d'étude et pour

fait l'objet de la figure 6.

24 - À un instant donné, on suppose que la face externe, assimilée à un corps noir, est en quasi équilibre thermique. En utilisant la loi de Stefan-Boltzmann, établir la deuxième condition aux limites vérifiée par en . Montrer que l'on arrive alors à une contradiction. Quelle hypothèse doit-elle être remise en question?
25 - En admettant que la solution précédente convienne malgré tout, décrire l'évolution de la température dans le tore au cours du temps en traçant sur un même graphique les profils des températures à diverses dates. Justifier en particulier le fait que tend uniformément vers zéro.

FIN DE LA PARTIE IV

FIN DE L'ÉPREUVE