J-0
00m
00j
00h
00min
00s

Version interactive avec LaTeX compilé

Télécharger PDF

Mines Physique 1 MP 2011

Notez ce sujet en cliquant sur l'étoile
0.0(0 votes)
Logo mines
🔗 Explorer
Banque
Mines
Année
2011
Filière
MP
Matière
Physique
Mines MPMines 2011MP PhysiquePhysique 2011
2025_09_04_349b72a2a7033f233f01g
ÉCOLE DES PONTS PARISTECH SUPAERO (ISAE), ENSTA PARISTECH, TELECOM PARISTECH, MINES PARISTECH, MINES DE SAINT-ÉTIENNE, MINES DE NANCY, TÉLÉCOM BRETAGNE, ENSAE PARISTECH (FILIÈRE MP) ÉCOLE POLYTECHNIQUE (FILIÈRE TSI)
CONCOURS D'ADMISSION 2011
PREMIÈRE ÉPREUVE DE PHYSIQUE

Filière MP

(Durée de l'épreuve: heures)
L'usage de la calculatrice est autorisé
Sujet mis à disposition des concours : Cycle international, ENSTIM, TELECOM INT, TPE-EIVP
Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie :
PHYSIQUE I - MP.
L'énoncé de cette épreuve comporte 6 pages.
  • Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il est invité à le signaler sur sa copie et à poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il aura été amené à prendre.
  • Il ne faudra pas hésiter à formuler les commentaires (incluant des considérations numériques) qui vous sembleront pertinents, même lorsque l'énoncé ne le demande pas explicitement. Le barème tiendra compte de ces initiatives ainsi que des qualités de rédaction de la copie.

TRANSPORTS PLANÉTAIRES

Ce problème étudie divers aspects physiques du voyage à l'échelle planétaire. Il est composé de deux parties indépendantes, la première envisage le déplacement d'un train dans un tunnel creusé dans la sphère terrestre, la seconde étudie la montée d'un ascenseur le long d'un câble vertical fixé à l'équateur. Dans tout le problème la Terre est assimilée à un corps sphérique homogène de rayon , de centre et de masse volumique homogène .
Pour les applications numériques on prendra , et on utilisera 3 chiffres significatifs. On rappelle la valeur de la constante universelle de la gravitation de Newton . Les vecteurs sont surmontés d'un chapeau s'ils sont unitaires ou d'une flèche dans le cas général . Une quantité surmontée d'un point désigne la dérivée totale par rapport au temps de cette quantité .

I. - Le métro gravitationnel

Dans toute cette partie on néglige tous les effets de la rotation de la terre sur elle-même et on se place dans le référentiel géocentrique que l'on supposera galiléen.

I.A. - Etude préliminaire

On considère un point situé à l'intérieur de la sphère terrestre. On note et le champ gravitationnel créé par la terre en .
- Justifier que est porté par et que son module ne dépend que de , on notera donc . En utilisant le théorème de Gauss gravitationnel déterminer l'expression de en fonction de et .
- Déduire de la question précédente que la force de gravitation s'exerçant sur un point de masse situé en dérive de l'énergie potentielle
où est une constante qui dépend de la référence choisie et que l'on ne demande pas d'expliciter. Quelle est la dimension de ?

I.B. - Le tunnel droit

On relie deux points et de l'équateur terrestre par un tunnel cylindrique traversant la Terre selon le schéma de la figure 1 qui présente également les notations utilisées.
Fig. 1 - Le tunnel droit
On considère un mobile ponctuel de masse se déplaçant dans le tunnel sous l'effet du champ gravitationnel terrestre. La position du mobile est repérée sur le segment par la coordonnée telle que où le vecteur unitaire est colinéaire à et de même sens et est la projection orthogonale de sur . On note finalement .
Dans toute la partie I, on suppose que le point reste en permanence dans l'axe du tunnel grâce à un système de confinement. Il n'y a donc pas de contact avec les parois et donc pas de frottement avec celles-ci. Un tel confinement est envisageable en utilisant des parois magnétiques ! On suppose enfin qu'un vide suffisament poussé a été créé dans le tunnel. Sous toutes ces hypothèses, on considérera que la seule force qui s'applique au mobile est la force de gravitation qu'exerce sur lui la terre.
À l'instant , on abandonne le mobile au point sans vitesse initiale.
- Déterminer l'équation différentielle (linéaire) du second ordre vérifiée par . En déduire l'expression de en fonction de et .
- Déterminer la valeur de la vitesse maximale atteinte par le point sur le trajet. En quel point cette vitesse est-elle atteinte?
- Exprimer la durée du trajet entre et calculer sa valeur numérique.

I.C. - Projet de métro

Pour desservir plusieurs points sur l'équateur, on considère un système de tunnels représentés sur la figure 2.
Un tunnel circulaire est percé à une distance du centre de la Terre dans le plan de l'équateur et l'on creuse des tunnels rectilignes de descente ou de remontée , etc... Ces tunnels se raccordent au tunnel circulaire interne en des points . Chaque jonction est tangentielle, c'est-à-dire que . Les points sont équipés d'un système d'aiguillage
FIG. 2 - Le système de tunnels
assurant la continuité du vecteur vitesse de la rame de transport des voyageurs lors du transfert entre le tunnel de descente ou de remontée et le tunnel circulaire.
On assimile cette rame à un point matériel de masse astreint à circuler dans l'axe du tunnel et sans contact avec ses parois grâce au système de confinement. À l'instant , on laisse tomber une rame du point et sans vitesse initiale.
- Quelle est la nature du mouvement de la rame sur le trajet circulaire interne . Déterminer la vitesse de la rame sur cette portion, en déduire que la durée du transfert de vers se met sous la forme
où et est une fonction que l'on déterminera.
- Déterminer la durée totale du voyage de vers en fonction de et . Déterminer la valeur numérique de pour un voyage tel que avec . Comparer les caractéristiques de ce voyage avec son équivalent à la surface de la terre.
- Avec un diamètre moyen de 7 m , évaluer la quantité de déblais à évacuer pour creuser le tunnel circulaire, ainsi qu'un tunnel radial. Commenter le résultat obtenu.
L'une des nombreuses hypothèses nécessaires à la réalisation d'un tel projet est la création et le maintien d'un vide suffisant dans le tunnel. En fait, ce vide ne peut être que partiel sur un tel volume et le tunnel contient de l'air de densité volumique de masse maintenu à la pression et à la température ambiante. Ce dernier point serait à discuter dans le cadre d'une étude plus complète que nous ne mènerons pas ici. On supposera que et sont constantes dans l'enceinte du tunnel et que l'air s'y comporte comme un gaz parfait. Pour cette étude on se place dans le cas du mouvement dans le tunnel circulaire.
Des expériences d'aérodynamique montrent que le mouvement d'un solide dans un gaz au repos est soumis à une force de frottement, dite traînée. Cette traînée dépend de la taille caractéristique et de la vitesse du solide ainsi que de la densité du gaz dans lequel s'effectue le mouvement.
- En effectuant une analyse dimensionnelle, déterminer l'expression de cette force de frottement.
— On note la puissance développée par la traînée subie par la rame de métro lorsqu'elle circule dans la portion circulaire du tunnel. Déterminer la pression qu'il faut maintenir dans le tunnel afin que soit comparable à la puissance que développe la force de traînée dans le cas d'une rame de TGV circulant à la vitesse de à la surface de la terre. On supposera qu'en dehors de la vitesse la rame de métro et la rame de TGV possèdent les mêmes caratéristiques physiques. Commenter le résultat obtenu.

FIN DE LA PARTIE I

II. - Ascenseur spatial

Ce problème étudie certains aspects physiques de la réalisation d'une idée récurrente dans de nombreux contextes «l'ascenseur spatial». Il s'agit d'un mécanisme permettant de s'extraire du champ de pesanteur terrestre sans utiliser de fusée. On suppose pour cela qu'un câble réalisé par filage de nanotubes de carbone, de plus de 100000 km de long, inextensible, a pu être dressé à la verticale d'un point de l'équateur de la Terre. Ce câble possède une masse linéique extrêmement faible et une résistance mécanique extrêmement forte par rapport à un câble en acier, qui le rend capable de supporter de très fortes tensions sans casser. Dans cette partie, le référentiel terrestre est en rotation uniforme autour de l'axe des pôles par rapport au référentiel géocentrique supposé galiléen. Il effectue un tour en un jour sidéral de durée . La terre est toujours supposée sphérique et homogène de masse .

II.A. - Étude de l'équilibre du câble

Les notations sont celles de la figure 3 : Le point d'ancrage du câble est un point de l'équateur terrestre, est le rayon de la Terre et son centre. L'altitude d'un point du fil est notée , est le rayon et est la hauteur totale du câble. Le point représente l'extrémité haute du câble : et . Ce point est libre. On pourra enfin utiliser le vecteur unitaire .
Fig. 3 - Vue générale de la Terre et du câble
  • 11 - Rappeler la définition de l'orbite géostationnaire terrestre. Établir l'expression littérale du rayon correspondant à cette orbite en fonction de la masse de la terre, de et de la pulsation sidérale terrestre .
Dans toute la suite du problème, on considèrera un câble de longueur totale , on a donc . On note le module du champ de gravitation en , c'est-à-dire la quantité telle que où est le module de la force de gravitation subie par un corps de masse situé en . Enfin, on note le module du champ de gravitation en .
- En écrivant que le câble est en équilibre, montrer que la dérivée de la tension du câble en vérifie la relation
où est un paramètre que l'on exprimera en fonction de et . En admettant que , déterminer l'expression de la tension en fonction de et .
13- Déterminer les valeurs numériques de de la tension du fil au point d'ancrage notée , ainsi que la valeur maximale de . Commenter le résultat obtenu, on pourra par exemple se «servir» de la question 8, on donne aussi le module d'Young de l'acier et d'un câble en nanotubes de carbonne .

II.B. - Montée de la cage d'ascenseur le long du fil

Le système de propulsion de la cabine est modélisé sur la figure 4. La montée est assurée par la rotation en sens inverses de deux gros cylindres de caoutchouc identiques, chacun de rayon , de masse , de moment d'inertie par rapport à son axe . Ces cylindres sont mûs par un moteur électrique exerçant sur chacun un couple. Le moment résultant de ce couple est pour le cylindre de gauche et pour le cylindre de droite. Les deux cylindres serrent le câble grâce à un ressort reliant leurs centres. La longueur à vide et la constante de raideur du ressort permettent d'assurer un roulement sans glissement au contact du câble. On prend pour le coefficient de frottement statique entre le caoutchouc des cylindres et le câble. On néglige les masses de la cabine, de ses occupants et des moteurs par rapport à celle des cylindres.
Fig. 4 - Vue générale des cylindres assurant la montée de la cabine
On négligera toute action de l'air (frottement et vent) sur le système.
Dans le référentiel ( ) avec la cabine, repérée par le point , est en à . La montée de (où la vitesse est nulle) à dure au total jours et se décompose en une phase d'accélération constante d'intensité pendant une durée suivie d'une phase à vitesse constante de module .
- Calculer les valeurs numériques de la durée , de la vitesse et de l'altitude atteintes à la fin de la première phase. On vérifiera que .
  • 15 - Justifier le fait que l'on puisse considérer que pendant la première phase, la force de gravitation exercée par la Terre sur le système est sensiblement constante et négliger une des forces par rapport à celle-ci.
16- Expliquer comment la montée du système le long du fil peut affecter la verticalité du câble au cours de sa montée. Proposer un moyen technique de remédier à ce problème.
Dans toute la suite de cette partie, on supposera que le fil reste parfaitement immobile, vertical, tendu et on négligera la ou les forces susceptibles d'affecter la verticalité du fil.
- L'angle de rotation du cylindre de droite est noté , compté positivement comme indiqué sur la figure 4 , le vecteur vitesse angulaire de ce cylindre est donc . On prend pour . Établir la relation entre et .
  • 18 - Établir l'expression littérale du moment que doit exercer le moteur agissant sur ce cylindre pour assurer la montée pendant la première phase (accélérée) du mouvement en fonction de et . Effectuer l'application numérique.
  • 19 - Donner l'expression littérale de la valeur minimale de la constante de raideur du ressort assurant le roulement sans glissement du cylindre de droite sur le fil pendant la première phase (accélérée) du mouvement. Effectuer l'application numérique.
    - Justifier par un calcul numérique que la montée du système n'affecte pas sensiblement la tension du fil dans la première phase.

FIN DE LA PARTIE II

FIN DE L'ÉPREUVE

Mines Physique 1 MP 2011 - Version Web LaTeX | WikiPrépa | WikiPrépa